Делитель нуля

Термин «Делитель» имеет также другие значения.

Делитель нуля — ненулевой элемент $a$ кольца, для которого существует другой ненулевой элемент $b$, произведение с которым даёт нулевой элемент: $ab=0$ или $ba=0$. Элемент $a$ является левым делителем нуля, если существует ненулевой $b$ такой, что $ab=0$, и, соответственно, правым делителем нуля, если существует ненулевой $b$, при котором $ba=0$. В коммутативном кольце понятия правого и левого делителя нуля совпадают. Понятие естественным образом обобщается на полугруппы с нулём.

Элемент кольца, который не является ни правым, ни левым делителем нуля, называется регулярным элементом.

Нуль кольца называется несобственным (или тривиальным) делителем нуля. Соответственно, элементы, отличные от нуля и являющиеся делителями нуля, называются собственными (нетривиальными) делителями нуля.

Область целостности — коммутативное кольцо с единицей, в котором нет нетривиальных делителей нуля.

Свойства

Если $a$ не является левым делителем нуля, то равенство $ab=ac$ можно сократить на $a$; аналогично с правым делителем нуля. В частности, в области целостности сокращение на ненулевой множитель всегда возможно.

Множество регулярных элементов коммутативного кольца замкнуто относительно умножения.

Обратимые элементы кольца не могут быть делителями нуля. Обратимые элементы кольца часто называют «делителями единицы», поэтому предыдущее утверждение можно сформулировать иначе: делитель единицы не может быть одновременно делителем нуля. Отсюда следует, что ни в каком теле или поле делителей нуля быть не может.

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы может быть строго доказано).

Линейно упорядоченное кольцо со строгим порядком (то есть если произведение положительных элементов положительно) не содержит делителей нуля, см. также ниже пример упорядоченного кольца с делителями нуля.

Нильпотентный элемент кольца всегда является (и левым, и правым) делителем нуля. Идемпотентный элемент кольца $c$, отличный от единицы, также является делителем нуля, поскольку $c(1-c)=0$.

Примеры

Кольцо целых чисел не содержит нетривиальных делителей нуля и является областью целостности.

В кольце вычетов $\mathbb {Z} _{m}$ по модулю $m$, если $k$ не взаимно просто с $m$, то вычет $k$ является делителем нуля. Например, в кольце $\mathbb {Z} _{6}$ элементы 2, 3, 4 — делители нуля:

$2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0$.

В кольце матриц порядка 2 или более также имеются делители нуля, например:

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$.

Поскольку определитель произведения равен произведению определителей сомножителей, произведение матриц будет нулевой матрицей только если определитель по крайней мере одного из сомножителей равен нулю. Несмотря на некоммутативность умножения матриц, понятия левого и правого делителей нуля в этом кольце совпадают; все делители нуля — это вырожденные матрицы с нулевым определителем.

Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы).

Литература

• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — М.: Мир, 1975. — 649 с.
  • Переиздание: СПб.: Лань, 2004, ISBN 5-8114-0552-9, 624 с.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — ИЛ, 1963. — 370 с.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
• О. А. Иванова. Делитель нуля // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Zero_divisor . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Zero Divisor (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.