Моноид

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом: множество $M$, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент $e$, что $ex=x=xe$ для любого $x\in M$. Элемент $e$ называется единицей и часто обозначается $1$. В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Группа и связанные с ней простейшие алгебраические структуры

Моноиды возникают в различных областях математики; например, моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта. Таким образом, моноиды обобщают свойства композиции функций. Также моноиды используются в информатике и в теории формальных языков.

Любую полугруппу $\langle S,\cdot \rangle$ можно превратить в моноид, просто присоединив элемент $e$, и определив $e\cdot s=s=s\cdot e$ для всех $s\in S$. Всякая группа является моноидом; необходимость введения моноидов возникла из потребностей распространения результатов теории групп на структуру без обратного элемента.

Коммутативный моноид — моноид с коммутативной бинарной операцией; идемпотентный моноид — моноид, в котором выполнено $aa=a$; идемпотентный коммутативный моноид — то же, что полурешётка.

Примеры

Множество всех отображений произвольного множества $S$ в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений, а единицей служит тождественное отображение. Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры $A$ является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.

Неотрицательные числа (натуральные числа и нуль) образуют коммутативный моноид (моноид с коммутативной операцией) как по умножению, так и по сложению.

Множество всех конечных строк с элементами из алфавита $\Sigma$ образует моноид, обычно обозначаемый $\Sigma ^{*}$; операция определяется как конкатенация строк. Среди других структур данных, широко применяемых в информатике, моноидами являются списки (с операцией конкатенации и пустым списком как нейтральным элементом), ассоциативные массивы (с объединением по ключу и пустым массивом как нейтральным элементом).

Свойства

Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как $a^{0}=e$, а натуральная степень определена через полугрупповое умножение, таким образом свойства степени $a^{m+n}=a^{m}a^{n}$ и $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ остаются справедливыми для $n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$.

Можно ввести определение обратимого элемента моноида: $x$ обратим, если существует такой элемент $y$, что $xy=yx=e$, обратный элемент определён однозначно, обычно его обозначают $x^{-1}$. Множество всех обратимых элементов моноида образует группу (возможно, тривиальную).

Не каждый моноид можно вложить в группу. Коммутативный моноид со свойством сокращения (то есть $ab=ac\Rightarrow b=c$ и $ba=ca\Rightarrow b=c$) можно вложить в группу, используя конструкцию группы Гротендика — это обобщает способ, по которому аддитивную группу целых чисел можно восстановить по аддитивному моноиду натуральных чисел. Конечный моноид со свойством сокращения всегда является группой.

Связь с теорией категорий

Аксиомы моноида совпадают с теми аксиомами, которые накладываются на композицию морфизмов одного объекта в категории, то есть моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта.

Аналогично, гомоморфизмы моноидов — это в точности функторы между соответствующими категориями. Эта конструкция задаёт эквивалентность между категорией (малых) моноидов $\mathbf {Mon}$ и полной подкатегорией в категории малых категорий $\mathbf {Cat}$.

Существует также категорное понятие моноида, обобщающее свойства моноида на произвольную моноидальную категорию. Например, моноид в категории множеств — это обычный моноид, определённый выше, тогда как моноид в категории абелевых групп — ассоциативное кольцо с единицей.

Литература

• Цаленко М. Ш. Моноид // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Monoid . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Фейс К.. Часть I. Введение операций: полугруппа, моноид, группа и категория // Алгебра: кольца, модули и категории / Пер. с англ. под ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — С. 72—399. — 688 с.
• Awodey S.. Category Theory. — Oxford University Press, 2006. — (Oxford Logic Guides 49). — ISBN 0-19-856861-4.
• Jacobson N. Basic algebra 1. — 2nd ed. — Dover , 2009. — ISBN 978-0-486-47189-1.