Репьюниты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица) — натуральные числа R(b, n), запись которых в системе счисления с основанием b > 1 состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются R_n: R_1 = 1, R_2 = 11, R_3 = 111 и т. д., и общий вид для них:

R_n = \frac{10^n-1}{9},\quad n = 1, 2, 3,\ldots

Репьюниты являются частным случаем репдигитов.

Факторизация десятичных репьюнитов[править | править вики-текст]

(Простые числа в факторизациях, окрашенные в красный цвет означает, что это новые простые числа в факторизациях Rn, которое не делит Rk для всех k < n последовательность A102380 в OEIS)

R1 = 1
R2 = 11
R3 = 3 · 37
R4 = 11 · 101
R5 = 41 · 271
R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37
R7 = 239 · 4649
R8 = 11 · 73 · 101 · 137
R9 = 32 · 37 · 333667
R10 = 11 · 41 · 271 · 9091
R11 = 21649 · 513239
R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R13 = 53 · 79 · 265371653
R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091
R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R17 = 2071723 · 5363222357
R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R19 = 1111111111111111111
R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R23 = 11111111111111111111111
R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Свойства[править | править вики-текст]

  • Известно только 9 простых репьюнитов R_n для n, равных:
    2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 (последовательность A004023 в OEIS)
Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.
  • В результате умножения R_i \cdot R_j при 9 \ge i \ge j получается палиндромическое число вида (12 \ldots j \ldots 21) из i + j - 1 цифр с цифрой j посередине.
  • Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
  • Всякое положительное кратное репьюнита R_n содержит не менее n ненулевых цифр.
  • Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Замечательное свойство обнаружилось у числа 1111. Оказывается, его можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел. А именно,1111=\sum\limits_{n=11}^{16} n^2 Снова случайность, как тогда? Хотелось бы найти хотя бы ещё один такой репьюнит. Точнее, хотя бы ещё два таких репьюнита, ведь число 1 также удовлетворяет условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 179 включительно.

Литература[править | править вики-текст]