Решётка Браве

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Решётка Браве́ — понятие для характеристики кристаллической решётки относительно сдвигов. Названа в честь французского физика Огюста Браве. Решёткой или системой трансляций Браве называется набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которыми может быть получена вся бесконечная кристаллическая решётка. Все кристаллические структуры описываются 14 решётками Браве, число которых ограничивается симметрией.

Типы решёток Браве[править | править вики-текст]

Разделяют двухмерные и трёхмерные решётки Браве.

  • Пять двухмерных решёток Браве
Решётка Элементарная ячейка Точечная группа симметрии
Косоугольная Параллелограмм; a \not= b, \varphi \not= 90^\circ 2
Квадратная Квадрат; a = b, \varphi = 90^\circ 4mm
Гексагональная 60^\circ-ный ромб; a = b, \varphi = 120^\circ 6mm
Примитивная прямоугольная Прямоугольник; a \not= b, \varphi = 90^\circ 2mm
Центрированная прямоугольная Прямоугольник; a \not= b, \varphi = 90^\circ 2mm

Обозначение mm указывает на наличие двух плоскостей зеркального отражения.

  • Четырнадцать трёхмерных решёток Браве обычно подразделяются на семь систем, в соответствии с семью различными типами элементарных ячеек: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, кубической, тригональной и гексагональной. Каждая из систем характеризуется своим соотношением осей a,b,c и углов \alpha, \beta, \gamma.
Кристаллографическая система Число ячеек в системе Символ ячейки Характеристики элементарной ячейки
Триклинная 1 P a \not= b \not= c;    \alpha \not= \beta \not=  \gamma
Моноклинная 2 P, C a \not= b \not= c; \alpha = \gamma = 90^\circ \not=  \beta
Ромбическая 4 P, C, I, F a \not= b \not= c; \alpha = \beta =  \gamma = 90^\circ
Тетрагональная 2 P, I a = b \not= c; \alpha = \beta =  \gamma = 90^\circ
Кубическая 3 P, I, F a = b = c; \alpha = \beta =  \gamma = 90^\circ
Тригональная 1 R a = b = c; \alpha = \beta =  \gamma < 120^\circ, \not=90^\circ
Гексагональная 1 P a = b \not= c; \alpha = \beta = 90^\circ; \gamma = 120^\circ

Решётка Браве и структура кристалла[править | править вики-текст]

Решётка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. В общем случае, решётка Браве не совпадает с реальным кристаллом, а узлы не соответствуют атомам. Поэтому следует отличать кристаллическую решётку и решётку Браве.

Неоднозначность выбора трансляционных векторов. Площадь элементарных ячеек одинакова

Построение типов решётки Браве[править | править вики-текст]

Понятие решётки Браве связано с основными трансляционными векторами. Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трёхмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим \vec a_1, \vec a_2, \vec a_3).

Задав нулевую точку, строим совокупность точек по правилу:  \vec a = n_1\vec a_1 +  n_2\vec a_2 +  n_3\vec a_3  , где n_1,\ n_2,\ n_3 − произвольные целые числа. Получившаяся решётка - решётка Браве.


Элементарная ячейка[править | править вики-текст]

Элементарная ячейка решётки Браве — параллелепипед, построенный на основных векторах трансляции. Выбор этих векторов неоднозначен (см. рис.), но объём элементарной ячейки  \Omega= \left( \vec a_1 \cdot \left[ \vec a_2  \times \vec a_3 \right] \right) не зависит от выбора трансляционных векторов. Это связано с инвариантностью получающегося детерминанта относительно сложения и вычитания строк.

На элементарную ячейку решётки Браве приходится один узел.

Элементарную ячейку можно задать и другими способами. Например, в форме ячейки Вигнера-Зейтца наглядно видно, что на ячейки приходится один узел.

Элементарная ячейка обратной решётки в форме ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве — первая зона Бриллюэна.

По симметрии элементарной ячейки выделяют сингонии в кристаллографии и физике твёрдого тела.