Риск-нейтральная мера

Риск-нейтральная мера (скорректированная на риск мера, эквивалентная мартингальная мера) — применяемая в стохастической финансовой теории (математике) искусственная вероятностная мера (эквивалентная физической вероятностной мере) относительно которой будущая стоимость актива в единицах банковского счета — отношение стоимости рисковых активов к стоимости банковского счета (счета денежного рынка) — является мартингалом (или хотя бы локальным мартингалом) на безарбитражном рынке .

Существование такой меры на безарбитражном рынке гарантируется первой фундаментальной теоремой теории арбитражного ценообразования (APT), а её единственность в случае полных рынков — второй теоремой APT.

Свойство мартингальности позволяет выразить текущую стоимость будущих денежных потоков через условное математическое ожидание (в риск-нейтральной мере) их дисконтированной величины.

Риск-нейтральную меру чаще всего обозначают $\mathbb {Q}$ в отличие от физической вероятностной меры $\mathbb {P}$

Формула оценки в риск-нейтральной мере

Пусть в момент T величина платежа равна $V_{T}$. Мартингальное свойство риск-нейтральной меры означает по определению что

${V_{t} \over B_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl (}{V_{T} \over B_{T}}{\Bigr )}$

где $B_{t}=B_{0}e^{\int _{0}^{t}r_{u}du}$ - так процесс так называемого банковского счета, являющегося локально предсказуемым процессом роста по безрисковой ставке $r_{t}$ (процентная ставка случайна в общем случае).

Отсюда стоимость актива в данный момент времени

$V_{t}=B_{t}\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl (}{V_{T} \over B_{T}}{\Bigr )}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl (}{B_{t} \over B_{T}}V_{T}{\Bigr )}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl (}D(t,T)V_{T}{\Bigr )}$

где $D(t,T)=B_{t}/B_{T}=e^{-\int _{t}^{T}r_{u}du}$ - дисконтирующий процесс.

Связанные понятия

• Бескупонная (дисконтная) облигация - безрисковая облигация с единичным номиналом и сроком погашения T. Стоимость такой облигации согласно общей формуле оценки в риск-нейтральной мере равна

$P(t,T)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[e^{-\int _{t}^{T}r_{u}du}]$

Стоимость такой облигации представляет собой так называемый дисконт-фактор (множитель дисконтирования), если перейти от риск-нейтральной меры к так называемой T-форвардной мере:

$V_{t}=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]$

• Фьючерсные цены и фьючерсные ставки являются мартингалами в риск-нейтральной мере.

• Спот-мера - дискретный аналог "непрерывной" риск-нейтральной меры