Мартингал

Эта статья — о случайных процессах. О системе в азартных играх см. Мартингейл; об элементе конской упряжи см. Мартингал (конская упряжь).

Остановленное броуновское движение как пример мартингала

Мартинга́л (также мартинге́йл в теории вероятности) в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (среднеквадратичным) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Мартингалы с дискретным временем

• Последовательность случайных величин $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если

1. ${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$;
2. ${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$.

• Пусть дана другая последовательность случайных величин $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Тогда последовательность случайных величин $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ называется мартингалом относительно $\{Y_{n}\}$ или $\{Y_{n}\}$-мартингалом, если

1. ${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$;
2. ${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$.

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ с заданной на нём фильтрацией $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$, где $T\subset \mathbb {R}$. Тогда случайный процесс $\{X_{t}\}_{t\in T}$ называется мартингалом относительно $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$, если

1. $X_{t}$ измерима относительно ${\mathcal {F}}_{t}$ для любого $t\in T$.
2. ${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$.
3. ${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}$ почти наверное, $\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t$.

Последний пункт означает, что $\int \limits _{A}X_{t}dP=\int \limits _{A}X_{s}dP$ $\forall A\in {\mathcal {F}}_{s}$.

Если в качестве $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ взята естественная фильтрация ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$, то $\{X_{t}\}$ называют просто мартингалом.

Суб- и супермартингалы

• Пусть дана последовательность случайных величин $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Тогда последовательность случайных величин $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ называется су́б(су́пер)мартингалом относительно $\{Y_{n}\}$, если

1. ${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;$
2. ${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .$

• Случайный процесс $\{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R}$ называется суб(супер)мартингалом относительно $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$, если

1. $X_{t}$ измерима относительно ${\mathcal {F}}_{t}$ для любого $t\in T$.
2. ${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$.
3. ${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t$.

Если в качестве $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ взята естественная фильтрация ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$, то $\{X_{t}\}$ называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

• Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
• Если $\{X_{t}\}$ — мартингал, то ${\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const}$.
• Если $\{X_{t}\}$ — субмартингал, то $\{-X_{t}\}$ — супермартингал.
• Если $\{X_{t}\}$ является мартингалом, а $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — выпуклая функция, то $\{f(X_{t})\}$ — субмартингал. Если $f$ — вогнутая функция, то $\{f(X_{t})\}$ — супермартингал.
• Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом.
  • Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.
• Верна теорема о сходимости мартингалов.
• Теорема Дуба об остановке приводит условия, гарантирующие, что матожидаемое мартингала в момент остановки равно его начальному ожидаемому значению.

Примеры

• Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
  • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.

• Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения) является мартингалом.