Самосопряжённость

Самосопряжённость — математический термин, используемый для наименования свойства элемента алгебры, набора элементов алгебры, линейных операторов, линейных отображений и т. д.,

В общей алгебре, элемент x *-алгебры является самосопряженным, если он равен своему сопряжённому $x^{*}=x$. Близким понятием является эрмитова матрица (также называется самосопряжённой матрицей) — матрица, равна своей собственной эрмитово-сопряжённой матрице.

Набор элементов *-алгебры является самосопряженным, если он замкнут относительно операции инволюции. Например, если $x^{*}=y$, то поскольку $y^{*}=x^{**}=x$ в *-алгебре множество {x, y} является самосопряженным множеством, даже несмотря на то, что x и y не обязательно должны быть самосопряженными элементами.

В функциональном анализе линейный оператор $A:H\to H$ в гильбертовом пространстве называется самосопряженным, если он равен своему собственному сопряженному A^*(см. самосопряжённый оператор для подробного обсуждения). Если гильбертово пространство является конечномерным и выбран ортонормированный базис, то оператор «A» является самосопряженным тогда и только тогда, когда матрица, описывающая A относительно этого базиса, эрмитова. Эрмитовы матрицы также называются самосопряжёнными.

Линейное преобразование евклидова или унитарного пространства называется самосопряжённым (или симметрическим для евклидова пространства, эрмитовым для унитарного пространства), если оно совпадает со своим сопряжённым линейным преобразованием.

См. также

• Эрмитова матрица
• Симметричная матрица
• самосопряженный оператор
• Унитарный элемент

Литература

• Reed, M. Methods of Mathematical Physics / M. Reed, B. Simon. — Academic Press, 1972.
• Teschl, G. Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. — Providence : American Mathematical Society, 2009.