*-алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

*-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.

*-кольцо[править | править вики-текст]

*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.

*-алгебра[править | править вики-текст]

*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

.

*-гомоморфизм  — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:


  • Элементы для которых называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
  • Элементы для которых называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
  • Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде .

C*-алгебра[править | править вики-текст]

C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство:

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

Обозначения[править | править вики-текст]

Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею.

xx*, или
xx (ΤΕΧ: x^*),

но не «x» так как символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также надстрочная черта x, как в комплексном сопряжении, или x (поднятый типографский крестик).

См. также[править | править вики-текст]

Библиография[править | править вики-текст]

  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, стр. 142—150.