Инволюция (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе: функция называется инволюцией, если для всякого . Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Любая инволюция — это биекция. Композиция двух инволюций и является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: .

Функция , заданная на множестве целых , рациональных или вещественных чисел является инволюцией. Простейшие инволюции на множестве вещественных чисел :

, , , , , ;

Иновлюциями являются операции дополнения множества и логическое отрицание булевой алгебры, комплексное сопряжение, преобразование Лежандра, геометрическая инверсия.

Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии. Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.

Перестановка является инволюцией, если , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

.

Число инволюций в группе перестановок порядка определяется по формулам:

(рекуррентная формула),

(первые значения  — 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152[1]).

Примечания[править | править код]

  1. последовательность A000085 в OEIS