Тригонометрические преобразования Фурье

Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.

Определение

Синус-преобразование Фурье

Синус-преобразование Фурье ${\hat {f}}^{s}$ или ${\mathcal {F}}_{s}(f)$ функции $f(t)$ равно

$2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.$,

где

$t$ — время, $\nu$ — частота колебаний.

Функция ${\hat {f}}^{s}(\nu )$ нечётна по $\nu$, то есть

${\hat {f}}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )$ для любого $\nu$.

Косинус-преобразование Фурье

Косинус-преобразование Фурье ${\hat {f}}^{c}$ или ${\mathcal {F}}_{c}(f)$ функции $f(t)$ равно

$2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.$

где

$t$ — время, $\nu$ — частота колебаний.

Функция ${\hat {f}}^{c}(\nu )$ чётна по $\nu$, то есть ${\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu )$ для любого $\nu$.

Обратное синус- и косинус-преобразование Фурье

Изначальная функция $f(t)$ может быть найдена по формуле

$f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .$

Используя формулу сложения для косинуса, получим, что

${\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cos \omega (t-x)f(t)dtd\omega ,$,

где

$f(x+0)$ и $f(x-0)$ — право- и левосторонние пределы соответственно.

Если функция $f(t)$ чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если $f(t)$ нечётная, то исчезает косинус.

Расширение на комплексные числа

Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде

${\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.$

Используя формулу Эйлера, получим

${\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).$

См. также

• Преобразование Фурье;
• Дискретное косинусное преобразование.

Ссылки

• Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211