Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.
Синус-преобразование Фурье
или
функции
равно
,
- где
— время,
— частота колебаний.
Функция
нечётна по
, то есть
для любого
.
Косинус-преобразование Фурье
или
функции
равно
- где
— время,
— частота колебаний.
Функция
чётна по
, то есть
для любого
.
Изначальная функция
может быть найдена по формуле
![{\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a2811984a7af5deea8f6710eee0d2df5c26653)
Используя формулу сложения для косинуса, получим, что
,
- где
и
— право- и левосторонние пределы соответственно.
Если функция
чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если
нечётная, то исчезает косинус.
Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде
![{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e77013ebf9836f235a1ad58af1095101216ad05)
Используя формулу Эйлера, получим
![{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba364e8b2632789adfec7984995f2928a66d311b)
- Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211