Односторонний предел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Односторо́нний преде́л в математическом анализепредел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Определения[править | править вики-текст]

Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне[править | править вики-текст]

  • Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
  • Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .[1]

Односторонний предел по Коши[править | править вики-текст]

  • Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .
  • Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .[1]

Односторонний предел как предел вдоль фильтра[править | править вики-текст]

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть и Тогда системы множеств

и

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

Обозначения[править | править вики-текст]

  • Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
  • Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
  • При этом используются также сокращённые обозначения:
    • и для правого предела;
    • и для левого предела.
  • При для сокращения записи вместо и обычно пишут и соответственно.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
  • Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.[1]

Примеры[править | править вики-текст]

Функция из второго примера
  • Тождественная числовая функция
    • Область определения:
    • Правый предел:
    • Левый предел:
    • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел:
  • Кусочно-заданная функция
    • Область определения:
    • Правый предел:
    • Левый предел:
    • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке не существует
  • Функция sgn(x)
    • Область определения:
    • Правый предел:
    • Левый предел:
    • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке не существует

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.