Формула Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.

Формула Эйлера утверждает, что для любого комплексного числа (действительного в частности) выполнено следующее равенство:

,

где одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: ,

 — мнимая единица.

История[править | править вики-текст]

Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году[1] и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора[2]. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид[3]:

.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748)[4], построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у Г. Весселя.

Производные формулы[править | править вики-текст]

При помощи формулы Эйлера можно определить функции и следующим образом:

,
.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть , тогда:

,
.

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

является частным случаем формулы Эйлера при .

Применение в комплексном анализе[править | править вики-текст]

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: .

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: , . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа в степень его расстояние до центра возводится в степень , а угол поворота относительно оси увеличивается в раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых , но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.

Взаимосвязь с тригонометрией[править | править вики-текст]

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера :

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию в ряд Маклорена в окрестности точки a = 0 по степеням . Получим:

Но

Поэтому , что и требовалось доказать.

Показательная форма комплексного числа[править | править вики-текст]

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Cotes R. (1714-1716). «Logometria». Philosophical Transactions of the Royal Society of London 29: 32. DOI:10.1098/rstl.1714.0002.
  2. Cotes R. Harmonia mensurarum. — 1722. — P. 28.
  3. González-Velasco Enrique A. Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History. — 2011. — P. 182.
  4. Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum. — 1748. — Vol. 1. — P. 104.

Литература[править | править вики-текст]