Чётность функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Нечётные и чётные функции»)
Перейти к: навигация, поиск

Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция чётна когда чётно, и нечётна когда нечётно.

 — пример нечётной функции.
 — пример чётной функции.
нечётная
ни чётная, ни нечётная.
  • Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно центра координат).
  • Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно оси ординат).
  • Ни чётная, ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Строгое определение[править | править вики-текст]

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

  • Функция называется чётной, если справедливо равенство
  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).

Свойства[править | править вики-текст]

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
  • Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
где
  • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Произведение двух функций одной чётности чётно.
  • Произведение двух функций разной чётности нечётно.
  • Композиция двух нечётных функций нечётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • Важное соотношение для несобственных интегралов от чётных функций:
Соответственно, для интегралов от нечётных функций выполняется равенство

Примеры[править | править вики-текст]

Нечётные функции[править | править вики-текст]

  • Нечётная степень где  — произвольное целое число.
  • Синус .
  • Тангенс .

Чётные функции[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]