Арифметическая прогрессия: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Значения|Прогрессия}} |
{{Значения|Прогрессия}} |
||
'''Арифмети́ческая |
'''Арифмети́ческая прогре́ссия''' — [[числовая последовательность]] вида |
||
: <math>a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots</math>, |
: <math>a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots</math>, |
||
то есть последовательность чисел ('''членов''' прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа <math>d</math> ('''шага''', или '''разности''' прогрессии): |
то есть последовательность чисел ('''членов''' прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа <math>d</math> ('''шага''', или '''разности''' прогрессии): |
||
Строка 7: | Строка 7: | ||
: <math>a_n=a_1 + (n-1)d</math> |
: <math>a_n=a_1 + (n-1)d</math> |
||
Арифметическая прогрессия является [[монотонная последовательность| |
Арифметическая прогрессия является '''[[монотонная последовательность|монотонной последовательностью]]'''. При <math>d>0</math> она является возрастающей, а при <math>d<0</math> — убывающей. Если <math>d=0</math>, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения <math>a_{n+1}-a_n=d</math> для членов арифметической прогрессии. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
Строка 26: | Строка 26: | ||
<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math> |
<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math> |
||
<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math> |
|||
Заметив закономерность, делаем предположение, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. С помощью [[Математическая индукция|математической индукции]] покажем, что предположение верно для всех <math>n \in \mathbb N</math>: |
|||
'''База''' индукции <math>(n=1)</math> : |
|||
<math>a_1=a_1+(1-1)d=a_1</math> — утверждение истинно. |
<math>a_1=a_1+(1-1)d=a_1</math> — утверждение истинно. |
||
Строка 77: | Строка 82: | ||
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам |
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам |
||
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов. |
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов. |
||
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> |
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> — где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>. |
||
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов. |
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов. |
||
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% |
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100% |
||
Строка 109: | Строка 114: | ||
=== Сходимость арифметической прогрессии === |
=== Сходимость арифметической прогрессии === |
||
Арифметическая прогрессия расходится при <math>d\ne 0</math> и [[Предел последовательности|сходится]] при <math>d=0</math>. Причём |
Арифметическая прогрессия <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> расходится при <math>d\ne 0</math> и [[Предел последовательности|сходится]] при <math>d=0</math>. Причём |
||
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.</math> |
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.</math> |
||
Строка 120: | Строка 125: | ||
=== Связь между арифметической и геометрической прогрессиями === |
=== Связь между арифметической и геометрической прогрессиями === |
||
Пусть <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия с разностью <math>d</math> и число <math>a>0</math>. Тогда последовательность вида <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> есть [[геометрическая прогрессия]] со знаменателем <math>a^d</math>. |
Пусть <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия с разностью <math>d</math> и число <math>a>0</math>. Тогда последовательность вида <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> есть [[геометрическая прогрессия]] со знаменателем <math>a^d</math>. |
||
Строка 138: | Строка 142: | ||
== Арифметические прогрессии высших порядков == |
== Арифметические прогрессии высших порядков == |
||
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов [[Натуральное число|натуральных чисел]]: |
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов [[Натуральное число|натуральных чисел]]: |
||
Строка 159: | Строка 162: | ||
: <math>\sum_{i=1}^n i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2</math> |
: <math>\sum_{i=1}^n i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2</math> |
||
== Формула для разности == |
|||
== Дополнительные формулы == |
|||
Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как |
|||
⚫ | |||
=== Нахождение разности <math>\mathit{d}</math> арифметической прогрессии,если известны члены этой прогрессии, отличающиеся на разность их номеров === |
|||
Пусть нам будут известны значения двух членов из некой числовой последовательности,например: |
|||
<math>\mathit{a_n=\alpha}</math> и <math>\mathit{a_m=\beta}</math> , где <math>\mathit{n} </math> и <math>\mathit{m}</math> - номера членов некой числовой последовательности. |
|||
Так как члены последовательности не являются соседними,то найдем насколько член <math>\mathit{a_m}</math>опережает <math>\mathit{a_n}</math>на некое количество номеров ,то есть найдем разность этих номеров: |
|||
<math>\mathit{m-n=k}</math> ,где <math>\mathit{k}</math> - разность номеров двух членов |
|||
Теперь найдем разность самих членов последовательности: |
|||
<math>\mathit{a_m-a_n=\beta-\alpha=p}</math> ,где <math>\mathit{p}</math> - разность двух членов |
|||
Последний шаг - найти частное этих двух разностей,а именно: |
|||
<math>\mathit{d=\frac{k}{p}}</math> ,где <math>\mathit{d}</math> - разность арифметической прогрессии. |
|||
В конечном итоге мы получаем формулу: |
|||
⚫ | |||
== Занимательная история == |
== Занимательная история == |
||
Согласно легенде, школьный учитель математики юного [[Гаусс, |
Согласно легенде, школьный учитель математики юного [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]], чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. |
||
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле |
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле |
||
: <math>\frac{n(n+1)}2</math> |
: <math>\frac{n(n+1)}2</math> |
||
Строка 199: | Строка 183: | ||
== Литература == |
== Литература == |
||
* {{книга |
* {{книга |
||
| автор = [[Бронштейн, Илья Николаевич|Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев, Константин Адольфович|Семендяев К. А.]] |
| автор = [[Бронштейн, Илья Николаевич|Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев, Константин Адольфович|Семендяев К. А.]] |
Версия от 14:36, 8 марта 2020
Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида
- ,
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):
Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.
Свойства
Общий член арифметической прогрессии
Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле
- где — первый член прогрессии, — её разность.
Доказательство |
---|
Пользуясь соотношением выписываем последовательно несколько членов прогрессии:
Заметив закономерность, делаем предположение, что . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех : База индукции : — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Итак, утверждение верно и при . Это значит, что для всех . |
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие .
Доказательство |
---|
Необходимость:
Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:
. Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим . Достаточность: Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что . База индукции : — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :
Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что Итак, утверждение верно и при . Это значит, что . Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия. |
Сумма первых членов арифметической прогрессии
Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам
- , где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.
- — где — первый член прогрессии, — второй член прогрессии — член с номером .
- , где — первый член прогрессии, — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.
Доказательство |
---|
Запишем сумму двумя способами:
— та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:
Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно . В частности, . Поскольку таких слагаемых , то
Третья формула для суммы получается подстановкой вместо . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых , так как они все равны между собой. |
Сходимость арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причём
Доказательство |
---|
Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат. |
Связь между арифметической и геометрической прогрессиями
Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .
Доказательство |
---|
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения . |
Арифметические прогрессии высших порядков
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,
разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
- 1, 3, 5, 7, 9, 11…
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.
Если — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен , такой, что для всех выполняется равенство [1]
Примеры
- Натуральный ряд — это арифметическая прогрессия, в которой первый член , а разность .
- — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой и .
- Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу , то это есть арифметическая прогрессия, в которой и . В частности, есть арифметическая прогрессия с разностью .
- Сумма первых натуральных чисел выражается формулой
Формула для разности
Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как
- .
Занимательная история
Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.
См. также
Ссылки
- Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.
Примечания
- ↑ Бронштейн, 1986, с. 139.
Литература
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.