Окрестность: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Arventur (обсуждение | вклад) →Математический анализ: добавил АИ Метка: отменено |
Bezik (обсуждение | вклад) отклонено последнее 1 изменение (Arventur): в этой секции описывается ε-окрестность (а не любой интервал) Метка: ручная отмена |
||
Строка 11: | Строка 11: | ||
Окрестностью точки <math>x_0</math> на числовой прямой (иногда говорят <math>\varepsilon</math>-окрестностью) называется множество точек, удаленных от <math>x_0</math> менее чем на <math>\varepsilon</math>, то есть |
Окрестностью точки <math>x_0</math> на числовой прямой (иногда говорят <math>\varepsilon</math>-окрестностью) называется множество точек, удаленных от <math>x_0</math> менее чем на <math>\varepsilon</math>, то есть |
||
<math>O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}</math>. |
<math>O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}</math>. |
||
Другими словами, окрестностью точки <math>x_0</math> на числовой прямой называется любой [[интервал (математика)|интервал]], содержащий число <math>x_0</math> внутри себя<ref>''[[Хинчин, Александр Яковлевич|Хинчин А.Я.]]'' Восемь лекций по математическому анализу. - М.-Л., Гостехиздат, 1948. - с. 33</ref>. |
|||
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый <math>\varepsilon</math>-шар с центром в точке <math>x_0</math>. |
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый <math>\varepsilon</math>-шар с центром в точке <math>x_0</math>. |
Версия от 18:21, 12 декабря 2020
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть .
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
Общая топология
Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология.
- Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
- Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Окрестностью множества точек называется такое множество , что есть окрестность любой точки .
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
См. также
Примечания
- ↑ Рудин, 1975, с. 13.
Литература
- Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
- У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.