Арифметическая прогрессия

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

$a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots$,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа $d$ (шага, или разности прогрессии):

$a_{n}=a_{n-1}+d\quad$

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При $d>0$ она является возрастающей, а при $d<0$ — убывающей. Если $d=0$, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения $a_{n+1}-a_{n}=d$ для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером $n$ может быть найден по формулам

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$a_{n}=a_{m}-(m-n)d$

где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, $a_{m}$ — член арифметической прогрессии с номером $m$.

Доказательство

Пользуясь соотношением $a_{n+1}=a_{n}+d$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии: $a_{2}=a_{1}+d$ $a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$ $a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d$ $a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d$ Заметив закономерность, делаем предположение, что $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех $n\in \mathbb {N}$: База индукции $(n=1)$ : $a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}$ — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при $n=k$, то есть $a_{k}=a_{1}+(k-1)d$. Докажем истинность утверждения при $n=k+1$: $a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd$ Итак, утверждение верно и при $n=k+1$. Это значит, что $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ для всех $n\in \mathbb {N}$.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ есть арифметическая прогрессия $\Leftrightarrow$ для любого её элемента выполняется условие $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2$.

Доказательство

Необходимость: Поскольку $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ — арифметическая прогрессия, то для $n\geqslant 2$ выполняются соотношения: $a_{n}=a_{n-1}+d$ $a_{n}=a_{n+1}-d$. Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$. Достаточность: Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду $a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}$. Поскольку соотношения верны при всех $n\geqslant 2$, с помощью математической индукции покажем, что $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}$. База индукции $(n=2)$ : $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$ — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при $n=k$, то есть $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}$. Докажем истинность утверждения при $n=k+1$: $a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$ Но по предположению индукции следует, что $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}$. Получаем, что $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$ Итак, утверждение верно и при $n=k+1$. Это значит, что $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}$. Обозначим эти разности через $d$. Итак, $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d$, а отсюда имеем $a_{n+1}=a_{n}+d$ для $n\in \mathbb {N}$. Поскольку для членов последовательности $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ выполняется соотношение $a_{n+1}=a_{n}+d$, то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ может быть найдена по формулам

$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$ , где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $a_{n}$ — член с номером $n$, $n$ — количество суммируемых членов.

$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)$ — где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $a_{2}$ — второй член прогрессии $,a_{n}$ — член с номером $n$.

$S_{n}={\frac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n$ , где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество суммируемых членов.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}$ $S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: $2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$ Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n$. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: $a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n$ Получили, что каждое слагаемое не зависит от $i$ и равно $2a_{1}+(n-1)d$. В частности, $a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d$. Поскольку таких слагаемых $n$, то $2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$ Третья формула для суммы получается подстановкой $2a_{1}+(n-1)d$ вместо $a_{1}+a_{n}$. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо $a_{1}+a_{n}$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n$, так как они все равны между собой.

Сумма членов арифметической прогрессии от $n$-ого до $m$-ого

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от $n$ до $m$ $S_{m,n}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+\ldots +a_{m}$ может быть найдена по формулам

$S_{m,n}={\frac {a_{m}+a_{n}}{2}}\cdot (m-n+1)$ , где $a_{m}$ — член с номером $m$, $a_{n}$ — член с номером $n$, $(m-n+1)$ — количество суммируемых членов.

 $S_{m,n}={\frac {2a_{n}+d(m-n)}{2}}\cdot (m-n+1)$ , где $a_{n}$ — член с номером $n$, $d$ — разность прогрессии, $(m-n+1)$ — количество суммируемых членов.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ расходится при $d\neq 0$ и сходится при $d=0$. Причём

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел $\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)$, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$ и число $a>0$. Тогда последовательность вида $a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем $a^{d}$.

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: ${\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2$ Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: ${\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}={\sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}\cdot a^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},n\geqslant 2$ Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q={\frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={\frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}$.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если $\left[a_{i}\right]_{1}^{n}$ — арифметическая прогрессия порядка $m$, то существует многочлен $P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}$, такой, что для всех $i\in \left\{1,....n\right\}$ выполняется равенство $a_{i}=P_{m}(i)$

Примеры

• Натуральный ряд $1,2,3,4,5,\ldots$ — это арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_{1}=1$, а разность $d=1$.
• $1,-1,-3,-5,-7$ — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой $a_{1}=1$ и $d=-2$.
• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу $a$, то это есть арифметическая прогрессия, в которой $a_{1}=a$ и $d=0$. В частности, $\pi ,\pi ,\pi ,\ldots$ есть арифметическая прогрессия с разностью $d=0$.
• Сумма первых $n$ натуральных чисел выражается формулой

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

Формула для разности

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

${\mathit {d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}$.

Занимательная история

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

${\frac {n(n+1)}{2}}$

то есть к формуле суммы первых $n$ чисел натурального ряда.

См. также

• Геометрическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия

Ссылки

• Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.