Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Разница двух квадратов

Каждая разница двух квадратов может быть представлена в виде произведения по формуле:

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Доказательство

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}$

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

$ba-ab=0$

и остаётся

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

$a^{2}+ba-ab-b^{2}$.

Чтобы это было равно $a^{2}-b^{2}$, мы должны иметь

$ba-ab=0$

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов

• $(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
• $a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$
• $\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Формулы для четвёртой степени

• $(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
• $a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (выводится из $a^{2}-b^{2}$)
• $a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})$

Формулы для n-й степени

• $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
• $a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$, где $n\in N$
• $a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
• $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$, где $n\in N$

В комплексных числах

• $a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$
• $a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)$
• $a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)$
• $a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i}{\sqrt {2}}}b\right)$

Для произвольной чётной степени:

• $a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)$, где ${\sqrt[{n}]{\mp 1}}$ пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• $a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)$, где ${\sqrt[{n}]{\pm 1}}$ пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

• $(a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}$, где $n\in N$
• $(a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}$, где $n\in N$

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Литература

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.