Бином Ньютона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где  — биномиальные коэффициенты,  — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Примеры.

Для быстрого разложения бывает удобно воспользоваться треугольником Паскаля.

Доказательство[править | править код]

Для умножения скобок нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Рассмотрим коэффициент при . Вариантов выбрать (из скобок) на 1-м шаге , на 2-м соответственно и так далее до на -м шаге. Однако для каждого варианта посчитаны и все его порядковые перестановки, число которых . Нормируя, получаем в точности . Ниже приводится доказательство по индукции.

Обобщения[править | править код]

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:

,

где может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

.

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема[править | править код]

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где  — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна (то есть по всем композициям числа длины ). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла[править | править код]

Пусть и ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

История[править | править код]

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе[править | править код]

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически)[1]. Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]