Формулы сокращённого умножения многочленов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

Разница двух квадратов

Каждая разница двух квадратов может быть представлена в виде произведения по формуле:

Доказательство

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

и остаётся

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

.

Чтобы это было равно , мы должны иметь

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов

Формулы для четвёртой степени

  • (выводится из )

Формулы для n-й степени

  • , где
  • , где

В комплексных числах

Для произвольной чётной степени:

  • , где пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

  • , где пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

  • , где
  • , где

См. также

Литература

  • М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.