Векторный анализ: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Dolyn (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
|||
Строка 86: | Строка 86: | ||
* [http://www.astronet.ru:8104/db/msg/1174842 Статья по векторному анализу на ''Astronet''] |
* [http://www.astronet.ru:8104/db/msg/1174842 Статья по векторному анализу на ''Astronet''] |
||
[[Категория: |
[[Категория:Векторный анализ|*]] |
||
[[ar:تفاضل شعاعي]] |
[[ar:تفاضل شعاعي]] |
Версия от 20:28, 31 августа 2009
Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.
Сфера применения
Объектами приложения векторного анализа являются:
- Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
- Скалярные поля — функции на векторном пространстве.
Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:
- Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
- Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
- Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.
Векторные операторы
Наиболее часто применяемые векторные операторы:
- Ротор и дивергенция — для векторных полей.
- Градиент, лапласиан — для скалярных полей.
Оператор | Обозначение | Описание | Тип |
---|---|---|---|
Ротор | Характеризует вихревую составляющую векторного поля. | Вектор вектор | |
Дивергенция | Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. | Вектор скаляр | |
Градиент | Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. | Скаляр вектор | |
Лапласиан | Сочетание дивергенции с градиентом. | Скаляр скаляр |
Основные соотношения
Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.
Теорема | Запись | Пояснения |
---|---|---|
Теорема о градиенте | Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой. | |
Теорема Грина | Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром. | |
Теорема Стокса | Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен криволинейному интегралу по границе этой поверхности. | |
Теорема Остроградского — Гаусса | Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность. |
Исторический очерк
Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). У Гамильтона уже появилось скалярное и векторное произведение. Вскоре Гамильтон ввёл понятие векторного поля, вектор-функции, дифференциальный оператор («набла») и многие другие понятия векторного анализа.
Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла, заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид.
См. также
- Вектор-функция
- Градиент
- Дивергенция
- Дифференциальная геометрия
- Оператор набла
- Поверхность
- Ротор
- Формулы векторного анализа
Литература
- Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
- Краснов М. Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
- Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
- Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.