Факторпространство по подпространству: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
'''Фактор-пространство'''Факторпространство по подпространству''' — важный частный случай [[факторпространство|фактор-пространствфакторпространств]].
 
== Определение ==
Пусть <math>(X,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> — векторное пространство, а <math>(X_0,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> — его [[подпространство]]. Определим [[отношение эквивалентности]] как
: <math>x\sim y \Leftrightarrow x-y \in X_0.</math>
Тогда <math>X/ \,\overset{}{\sim}</math> называют фактор-пространствомфакторпространством <math>X</math> по <math>X_0</math> и обозначают <math>X/X_0</math>.
 
== Фактор-отображение ==
Отображение <math>{\varphi}:{X{\mapsto X/X_0}}</math>, сопоставляющее каждому элементу из <math>X</math> [[отношение эквивалентности|класс эквивалентности]], в котором он лежит, называется фактор-отображением.
Фактор-отображение дает возможность определить на X/X_0 векторную структуру, задав операции <math>{<}+,\cdot{>}</math> следующим образом:
* <math>x_1 + x_2 = {\varphi}({\varphi}^{-1}(x_1) + {\varphi}^{-1}(x_2)) \quad \forall x_1, x_2 \in X/X_0</math>
* <math>{\lambda}x = {\varphi}({\lambda}{\varphi}^{-1}(x)) \quad \forall x \in X/X_0, {\lambda} \in {\mathbb{F}}</math>
Фактор-отображение на таком пространстве линейно: <math>{\varphi} \in {\mathcal{L}}(X,X/X_0)</math>)
 
== Факторотображение ==
Отображение <math>{\varphi}:{\colon X{\mapsto X/X_0}}</math>, сопоставляющее каждому элементу из <math>X</math> [[отношение эквивалентности|класс эквивалентности]], в котором он лежит, называется фактор-отображением'''факторотображением'''.
 
Фактор-отображениеФакторотображение даетдаёт возможность определить на <math>X/X_0</math> векторную структуру, задав операции <math>{<}\langle+,\;\cdot{>}\rangle</math> следующим образом:
* <math>x_1 + x_2 = {\varphi}({\varphi}^{-1}(x_1) + {\varphi}^{-1}(x_2)) \quad qquad\forall x_1, \;x_2 \in X/X_0;</math>
* <math>{\lambda} x = {\varphi}({\lambda}{\varphi}^{-1}(x)) \quad qquad\forall x \in X/X_0, {\;\lambda} \in {\mathbb{F}}.</math>
Фактор-отображениеФакторотображение на таком пространстве линейно: <math>{\varphi} \in {\mathcal{L}}(X,\;X/X_0)</math>).
 
[[Категория:Теория множеств]]

Навигация