Факторпространство по подпространству: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка Следующая правка →

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Версия от 18:16, 23 декабря 2009

Факторпространство по подпространству — важный частный случай факторпространств.

Определение

Пусть $(X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ — векторное пространство, а $(X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как

x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_{0}.

Тогда $X/\,{\overset {}{\sim }}$ называют факторпространством $X$ по $X_{0}$ и обозначают $X/X_{0}$ .

Факторотображение

Отображение $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0}$ , сопоставляющее каждому элементу из $X$ класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на $X/X_{0}$ векторную структуру, задав операции $\langle +,\;\cdot \rangle$ следующим образом:

$x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{1},\;x_{2}\in X/X_{0};$
$\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

Факторотображение на таком пространстве линейно: $\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0})$ .

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Фактор-пространство''' по подпространству — важный частный случай [[факторпространство|фактор-пространств]].
+'''Факторпространство по подпространству''' — важный частный случай [[факторпространство|факторпространств]].
 == Определение ==
 Пусть <math>(X,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> — векторное пространство, а <math>(X_0,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> — его [[подпространство]]. Определим [[отношение эквивалентности]] как
-:<math>x\sim y \Leftrightarrow x-y \in X_0</math>
+: <math>x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_0.</math>
-Тогда <math>X/ \overset{}{\sim}</math> называют фактор-пространством <math>X</math> по <math>X_0</math> и обозначают <math>X/X_0</math>.
+Тогда <math>X/\,\overset{}{\sim}</math> называют факторпространством <math>X</math> по <math>X_0</math> и обозначают <math>X/X_0</math>.
-== Фактор-отображение ==
-Отображение <math>{\varphi}:{X{\mapsto X/X_0}}</math>, сопоставляющее каждому элементу из <math>X</math> [[отношение эквивалентности|класс эквивалентности]], в котором он лежит, называется фактор-отображением.
-Фактор-отображение дает возможность определить на X/X_0 векторную структуру, задав операции <math>{<}+,\cdot{>}</math> следующим образом:
-* <math>x_1 + x_2 = {\varphi}({\varphi}^{-1}(x_1) + {\varphi}^{-1}(x_2)) \quad \forall x_1, x_2 \in X/X_0</math>
-* <math>{\lambda}x = {\varphi}({\lambda}{\varphi}^{-1}(x)) \quad \forall x \in X/X_0, {\lambda} \in {\mathbb{F}}</math>
-Фактор-отображение на таком пространстве линейно: <math>{\varphi} \in {\mathcal{L}}(X,X/X_0)</math>)
+== Факторотображение ==
+Отображение <math>\varphi\colon X\mapsto X/X_0</math>, сопоставляющее каждому элементу из <math>X</math> [[отношение эквивалентности|класс эквивалентности]], в котором он лежит, называется '''факторотображением'''.
+Факторотображение даёт возможность определить на <math>X/X_0</math> векторную структуру, задав операции <math>\langle+,\;\cdot\rangle</math> следующим образом:
+* <math>x_1+x_2=\varphi(\varphi^{-1}(x_1)+\varphi^{-1}(x_2))\qquad\forall x_1,\;x_2\in X/X_0;</math>
+* <math>\lambda x=\varphi(\lambda\varphi^{-1}(x))\qquad\forall x\in X/X_0,\;\lambda\in\mathbb{F}.</math>
+Факторотображение на таком пространстве линейно: <math>\varphi\in\mathcal{L}(X,\;X/X_0)</math>.
 [[Категория:Теория множеств]]

Факторпространство по подпространству: различия между версиями

Версия от 18:16, 23 декабря 2009

Определение

Факторотображение

Навигация

Поиск