Факторпространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть на множестве X задано отношение эквивалентности \sim. Тогда множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством и обозначается X/\!\sim. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из X в множество классов эквивалентности X/\!\sim называется факторотображением. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие \forall x,\;y\in X, либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента x\in X однозначно определён некоторый класс из X/\!\sim, иными словами существует сюръективное отображение из X в X/\!\sim. Класс, содержащий x, иногда обозначают [x].

Факторпространство по подпространству[править | править исходный текст]

Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть X — линейное пространство, а L — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента x,\;y\in X таких, что x-y\in L, называются эквивалентными. Это обозначается x\,\overset{L}{\sim}\,y. Получаемое в результате факторизации пространство X/\,\overset{L}{\sim} называют факторпространством по подпространству L. Если X разлагается в прямую сумму X=L\oplus M, то существует изоморфизм из M в X/\,\overset{L}{\sim}. Если X — конечномерное пространство, то факторпространство X/\,\overset{L}{\sim} также является конечномерным и \dim X/\,\overset{L}{\sim}=\dim X-\dim L.

Примеры[править | править исходный текст]

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Примеры[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]