Кратность критической точки: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
NapalmBot (обсуждение | вклад) м Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ. |
Бот удаляет нижнее подчеркивание x_ --> x Это делает все формулы неправильными! |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
{{рамка}} |
{{рамка}} |
||
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — <math>C^{\infty}</math>-гладкая функция от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, имеющая <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Соответствующее '''градиентное отображение''' <math>\nabla f: \R^n\to\R^n</math> задается формулой <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).</math> Введем следующие обозначения: |
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — <math>C^{\infty}</math>-гладкая функция от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, имеющая <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Соответствующее '''градиентное отображение''' <math>\nabla f: \R^n\to\R^n</math> задается формулой <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).</math> Введем следующие обозначения: |
||
* <math>\R[[ |
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра]] [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
||
* <math>I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.</math> |
* <math>I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.</math> |
||
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>I_{\nabla f}</math> в алгебру <math>\R[[ |
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>I_{\nabla f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' градиентного отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f}</math> называется '''кратностью''' функции <math>f</math> в точке <math>O.</math> |
||
{{/рамка}} |
{{/рамка}} |
||
В случае, когда функции <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n</math> имеют в точке <math>O</math> линейно независимые [[градиент]]ы (это условие равносильно тому, что [[гессиан]] функции <math>f</math> отличен от нуля), кратность <math>\mu=1</math>, и критическая точка <math>O</math> называется '''невырожденной'''. |
В случае, когда функции <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n</math> имеют в точке <math>O</math> линейно независимые [[градиент]]ы (это условие равносильно тому, что [[гессиан]] функции <math>f</math> отличен от нуля), кратность <math>\mu=1</math>, и критическая точка <math>O</math> называется '''невырожденной'''. |
||
Удобно также положить <math>\mu=0</math> в случае некритической точки. |
Удобно также положить <math>\,\mu=0</math> в случае некритической точки. |
||
== Функции одной переменной == |
== Функции одной переменной == |
||
Строка 20: | Строка 20: | ||
\frac{d^{\mu+1} f}{d x^{\mu+1}}(O) \neq 0, |
\frac{d^{\mu+1} f}{d x^{\mu+1}}(O) \neq 0, |
||
</math> |
</math> |
||
при этом значение <math>\mu=0</math> соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции <math>\nabla f = {\partial f}/{\partial x}</math> начинается с члена <math>x^{\mu},</math> то любой элемент <math>g \in \R[[x]]</math> представим в виде <math>g=p_{\mu-1}+ \alpha \cdot \nabla f</math>, где <math>\alpha \in \R[[x]]</math> и <math>p_{\mu-1}</math> — многочлен степени <math>\mu-1,</math> задаваемый <math>\mu</math> коэффициентами, т.е. <math>\dim \, \R[[x]]/I_{\nabla f} = \mu.</math> |
при этом значение <math>\,\mu=0</math> соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции <math>\nabla f = {\partial f}/{\partial x}</math> начинается с члена <math>x^{\mu},\,</math> то любой элемент <math>g \in \R[[x]]</math> представим в виде <math>g=p_{\mu-1}+ \alpha \cdot \nabla f</math>, где <math>\alpha \in \R[[x]]</math> и <math>p_{\mu-1}\,</math> — многочлен степени <math>\mu-1,\,</math> задаваемый <math>\mu\,</math> коэффициентами, т.е. <math>\dim \, \R[[x]]/I_{\nabla f} = \mu.</math> |
||
[[Лемма Морса|Теорема Тужрона]] в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности <math>\mu</math> существуют координаты, в которых функция имеет вид |
[[Лемма Морса|Теорема Тужрона]] в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности <math>\mu</math> существуют координаты, в которых функция имеет вид |
||
{{рамка}} |
{{рамка}} |
||
:<math>f(x)=x^{\mu+1}.</math> |
:<math>f(x)=x^{\mu+1}.\,</math> |
||
{{/рамка}} |
{{/рамка}} |
||
Строка 56: | Строка 56: | ||
== Теорема деления == |
== Теорема деления == |
||
{{рамка}} |
{{рамка}} |
||
Пусть <math>f: \R^{n+1}\to\R</math> — гладкая функция от <math>n+1</math> переменной <math>x,y_1, \ldots, y_n</math>, имеющая точку <math>0\in\R^{n+1}</math> своей критической точкой кратности <math>0 \le \mu < \infty</math> по переменной <math>x</math>, т.е. |
Пусть <math>f: \R^{n+1}\to\R</math> — гладкая функция от <math>n+1</math> переменной <math>x,y_1, \ldots, y_n</math>, имеющая точку <math>0\in\R^{n+1}</math> своей критической точкой кратности <math>0 \le \mu < \infty</math> по переменной <math>x\,</math>, т.е. |
||
<math> |
<math> |
||
Строка 67: | Строка 67: | ||
<math>f(x,y_1, \ldots, y_n) = \varphi(x,y_1, \ldots, y_n) \cdot \Bigl(x^{\mu+1}+ \sum_{i=0}^{\mu} a_{i}(y_1, \ldots, y_n)x^{\mu-i}\Bigr), \quad \ (**)</math> |
<math>f(x,y_1, \ldots, y_n) = \varphi(x,y_1, \ldots, y_n) \cdot \Bigl(x^{\mu+1}+ \sum_{i=0}^{\mu} a_{i}(y_1, \ldots, y_n)x^{\mu-i}\Bigr), \quad \ (**)</math> |
||
где <math>\varphi</math> и <math>a_{i}</math> — гладкие функции своих аргументов, <math>\varphi(x,y_1, \ldots, y_n)</math> не обращается в нуль и <math>a_{i}(0,\ldots,0)=0</math> для всех |
где <math>\varphi</math> и <math>a_{i}\,</math> — гладкие функции своих аргументов, <math>\varphi(x,y_1, \ldots, y_n)</math> не обращается в нуль и <math>a_{i}(0,\ldots,0)=0\,</math> для всех |
||
<math>i<\mu</math>. |
<math>\,i<\mu</math>. |
||
{{/рамка}} |
{{/рамка}} |
||
Строка 75: | Строка 75: | ||
== Критические точки отображений == |
== Критические точки отображений == |
||
'''Кратность''' [[Критическая точка (математика)|критической точки]] <math>C^{\infty}</math>-гладкого отображения <math>f: \R^n\to\R^n,</math> <math>n>1,</math> — это [[Размерность векторного пространства|размерность]] '''локальной алгебры''' данного отображения. |
'''Кратность''' [[Критическая точка (математика)|критической точки]] <math>C^{\infty}</math>-гладкого отображения <math>f: \R^n\to\R^n,</math> <math>n>1,</math> — это [[Размерность векторного пространства|размерность]] '''локальной алгебры''' данного отображения. |
||
{{рамка}} |
{{рамка}} |
||
Пусть <math>f: \R^n\to\R^n</math> — <math>C^{\infty}</math>-гладкое отображение, имеющее <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Отображение <math>f</math> задается набором <math>n</math> функций <math>f_1, \ldots, f_n</math> от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>. |
Пусть <math>f: \R^n\to\R^n</math> — <math>C^{\infty}</math>-гладкое отображение, имеющее <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Отображение <math>\,f</math> задается набором <math>n</math> функций <math>f_1, \ldots, f_n</math> от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>. |
||
Введем следующие обозначения: |
Введем следующие обозначения: |
||
* <math>\R[[ |
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра]] [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
||
* <math>I_{f} = (f_1, \ldots, f_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>f_1, \ldots, f_n.</math> |
* <math>I_{f} = (f_1, \ldots, f_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>f_1, \ldots, f_n.</math> |
||
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>I_{f}</math> в алгебру <math>\R[[ |
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>\,I_{f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f}</math> называется '''кратностью''' отображения <math>f</math> в точке <math>O.</math> |
||
{{/рамка}} |
{{/рамка}} |
||
Версия от 13:32, 26 июня 2016
Кратность критической точки -гладкой функции — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения этой функции в рассматриваемой точке.
Определение
Пусть — -гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения:
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение в алгебру . Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью функции в точке Шаблон:/рамка В случае, когда функции имеют в точке линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции отличен от нуля), кратность , и критическая точка называется невырожденной. Удобно также положить в случае некритической точки. Функции одной переменнойВ этом случае , и кратность критической точки может быть определена условием: при этом значение соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции начинается с члена то любой элемент представим в виде , где и — многочлен степени задаваемый коэффициентами, т.е. Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности существуют координаты, в которых функция имеет вид
|