Паросочетание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Совершенное паросочетание»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории графов паросочетание, или независимое множество рёбер в графе, — это набор попарно несмежных рёбер.

Определение

[править | править код]

Пусть дан граф G = (V,E), паросочетание M в G — это множество попарно несмежных рёбер, то есть рёбер, не имеющих общих вершин, т.е. .

Связанные определения

[править | править код]

Максимальное паросочетание — это такое паросочетание M в графе G, которое не содержится ни в каком другом паросочетании этого графа, то есть к нему невозможно добавить ни одно ребро, которое бы являлось несмежным ко всем рёбрам паросочетания. Другими словами, паросочетание M графа G является максимальным, если любое ребро в G имеет непустое пересечение, по крайней мере, с одним ребром из M. Ниже приведены примеры максимальных паросочетаний (красные рёбра) в трёх графах[1].

Наибольшее паросочетание (или максимальное по размеру паросочетание[2])— это такое паросочетание, которое содержит максимальное количество рёбер. Число паросочетания[3] графа  — это число рёбер в наибольшем паросочетании. У графа может быть множество наибольших паросочетаний. При этом любое наибольшее паросочетание является максимальным, но не любое максимальное будет наибольшим. Следующие три рисунка показывают наибольшие паросочетания в тех же трёх графах[1].

Некоторые авторы используют термин «максимальное паросочетание» для наибольшего паросочетания[4][5][6][7].

Совершенным паросочетанием (или 1-фактором) называется паросочетание, в котором участвуют все вершины графа. То есть любая вершина графа инцидентна ровно одному ребру, входящему в паросочетание. Фигура (b) на рисунке выше является примером такого паросочетания. Любое совершенное паросочетание является наибольшим и максимальным. Совершенное паросочетание является также рёберным покрытием минимального размера. В общем случае , где число рёберного покрытия графа , иными словами, размер наибольшего паросочетания не превосходит размера наименьшего рёберного покрытия.

Почти совершенным паросочетанием называется паросочетание, в котором не участвует ровно одна вершина. Это может произойти, если граф имеет нечётное число вершин. На рисунке выше паросочетание в графе (c) является почти совершенным. Если для любой вершины в графе существует почти совершенное паросочетание, не содержащее именно эту вершину, граф называется факторно-критическим.

Пусть задано паросочетание M.

  • чередующийся путь — это путь, в котором рёбра поочерёдно принадлежат паросочетанию и не принадлежат ему.
  • пополняющий путь (или увеличивающий путь) — это чередующийся путь, начинающийся и кончающийся свободными вершинами (то есть не участвующими в паросочетании).

Лемма Бержа утверждает, что паросочетание является наибольшим в том и только в том случае, если не существует пополняющего пути.

  • Число совершенных паросочетаний в двудольном графе равно перманенту его матрицы смежности.
  • В любом графе без изолированных вершин число паросочетания и число рёберного покрытия в сумме дают число вершин[8].
    • В частности, если существует совершенное паросочетание, то оба числа равны |V| / 2.
  • Если A и B — два максимальных паросочетания, то |A| ≤ 2|B| и |B| ≤ 2|A|. Чтобы это увидеть, заметьте, что каждое ребро из B \ A может быть сопряжено максимум двум рёбрам из A \ B поскольку A — паросочетание. Однако каждое ребро A \ B сопряжено с ребром B \ A ввиду того, что B — максимальное. Следовательно,
Далее мы имеем
  • В частности, отсюда вытекает, что любое максимальное паросочетание является 2-аппроксимацией наибольшего паросочетания, а также 2-аппроксимацией минимального максимального паросочетания. Это неравенство точное. Например, если G — путь с тремя рёбрами и 4 вершинами, минимальный размер максимального паросочетания равен 1, а размер наибольшего паросочетания равен 2.

Многочлен паросочетаний

[править | править код]

Производящая функция числа k-рёберных паросочетаний в графе называется многочлен паросочетаний. Пусть G — граф и mk — число k-рёберных паросочетаний. Полиномом паросочетаний графа G будет

Есть другое определение полинома паросочетаний

,

где n — число вершин в графе. Оба определения имеют свои области применения.

Алгоритмы и вычислительная сложность

[править | править код]

Наибольшее паросочетание в двудольном графе

[править | править код]

Задачи нахождения паросочетания часто возникают при работе с двудольными графами. Поиск наибольшего паросочетания в двудольном графе[9] является, пожалуй, простейшей задачей. Алгоритм пополняющего пути получает его, находя пополняющий путь из каждой вершины в и добавляя его в паросочетание, если путь будет найден. Альтернативный способ решения заключается в том, что паросочетание будет дополняться до тех пор, пока существуют расширяющие дополняющие пути:

  1. Установи .
  2. Пока имеются расширяющие пополняющие пути :
    1. , где - симметрическая разность множеств.

Пополняющий путь - это путь вида , для которого истинно при . Пополняющий путь называется расширяющим, если .

Лемма: Для любого графа , паросочетания и пополняющего пути справедливо паросочетание и . Доказательство: Пусть , и - начальная вершина , так что и , а также - последняя вершина , так что и , и - промежуточная вершина , так что . Из этого следует, что в граф будет добавлено на одно ребро больше, чем удалено из него.

Лемма: Для любого графа и паросочетаний , таких, что справедливо следующее: граф содержит минимум не пересекающихся в вершинах пополняющих путей относительно в . Доказательство: Пусть и , при этом действительно и и таким образом следует . Пусть при компоненты связности графа . Из следует

  • является изолированной вершиной или
  • является циклом четной длины или
  • является путем четной длины или
  • является путем нечетной длины

Вершины в происходят попеременно из и . Пусть

, а только если - пополняющий путь. и это означает, что должно существовать минимум компонент с и, как следствие, дополняющих путей. Согласно определению компонент связности, такие дополняющи пути не будут пересекаться в вершинах.

Найти дополняющий путь можно следующим образом:

  1. Даны двудольный граф и паросочетание .
  2. Создай , где
  3. Поиск дополняющего пути сводится к поиску в из свободной вершины в свободную вершину .

Поскольку пополняющий путь может быть найден за - время поиска в глубину, время работы алгоритма составит . Это решение эквивалентно добавлению суперисточника с рёбрами ко всем вершинам , и суперстока с рёбрами из всех вершин (трансформация графа займет , и поиску максимального потока из в . Все рёбра, по которым идёт поток из в , образуют максимальное паросочетание, а размер наибольшего паросочетания будет равен величине потока. Несколько быстрее работает алгоритм Хопкрофта — Карпа, работающий за время . Другой подход базируется на алгоритме быстрого умножения матриц и даёт сложность [10], что в теории лучше для достаточно плотных графов, но на практике алгоритм медленнее.[11]

Во взвешенном двудольном графе

[править | править код]

Во взвешенном двудольном графе каждому ребру приписывается вес. Паросочетание максимального веса в двудольном графе[9] определяется как паросочетание, для которого сумма весов рёбер паросочетания имеет максимальное значение. Если граф не является полным двудольным, отсутствующие рёбра добавляются с нулевым весом. Задача поиска такого паросочетания известна как задача о назначениях. Замечательный венгерский алгоритм решает задачу о назначениях и был одним из первых алгоритмов комбинаторной оптимизации. Задача может быть решена с помощью модифицированного поиска кратчайшего пути в алгоритме пополняющего пути. Если используется алгоритм Беллмана — Форда, время работы будет , или цену ребра можно сдвинуть для достижения времени при применении алгоритма Дейкстры с Фибоначчиевой кучей[12]. [13]

Наибольшие паросочетания

[править | править код]

Имеется алгоритм полиномиального времени для нахождения наибольшего паросочетания или паросочетания максимального веса в графе, не являющемся двудольным. Следуя Джеку Эдмондсу[англ.] его называют методом путей, деревьев и цветов или просто алгоритмом Эдмондса для паросочетаний. Алгоритм использует двунаправленные дуги[англ.]. Обобщение той же техники может быть использовано для поиска максимального независимого множества в графах без клешней. Алгоритм Эдмодса был впоследствии улучшен до времени работы , что соответствует алгоритмам для двудольных графов[14]. Другой (рандомизированный) алгоритм, разработанный Муча и Санковсим (Mucha, Sankowski)[10], основанный на быстром произведении матриц, даёт сложность .

Максимальные паросочетания

[править | править код]

Максимальное паросочетание можно найти простым жадным алгоритмом. Cамым большим максимальным паросочетанием является наибольшее паросочетание, которое может быть найдено за полиномиальное время. Pеализация с использованием псевдокода:

  1. Дан граф .
  2. Установи .
  3. Пока множество не пустое:
    1. Выбери .
    2. Установи .
    3. Установи .
  4. Выведи .

Однако неизвестно никакого полиномиального по времени алгоритма для нахождения наименьшего максимального паросочетания, то есть максимального паросочетания, содержащего наименьшее возможное число рёбер.

Заметим, что наибольшее паросочетание из k рёбер является рёберным доминирующим множеством с k рёбрами. И обратно, если задано минимальное рёберное доминирующее множество с k рёбрами, мы можем построить наибольшее паросочетание с k рёбрами за полиномиальное время. Таким образом, задача нахождения минимального по размеру максимального паросочетания эквивалентна задаче нахождения минимального рёберного доминирующего множества[15]. Обе эти задачи оптимизации известны как NP-трудные, а их распознавательные версии являются классическими примерами NP-полных задач[16]. Обе задачи могут быть аппроксимированы с коэффициентом 2 с полиномиальным временем — просто находим произвольное максимальное паросочетание M[17].

Задачи перечисления

[править | править код]

Число паросочетаний в графе известно как индекс Хосойи. Вычисление этого числа является #P-полной задачей. Задача остаётся #P-полной в специальном случае перечисления совершенных паросочетаний в двудольном графе, поскольку вычисление перманента случайной 0-1 матрицы (другая #P-полная задача) — это то же самое, что вычисление числа совершенных паросочетаний в двудольном графе, имеющем заданную матрицу в качестве матрицы смежности. Существует, однако, рандомизированная аппроксимационная схема полиномиального времени для вычисления числа паросочетаний в двудольном графе[18]. Замечательная теорема Кастелейна[англ.], утверждающая, что число совершенных паросочетаний в планарном графе может быть вычислено в точности за полиномиальное время с помощью алгоритма FKT.

Число совершенных паросочетаний в полном графе Kn (с чётным n) задаётся двойным факториалом (n − 1)!![19]. Число паросочетаний в полном графе без ограничения, чтобы паросочетание было совершенным, задаётся телефонными номерами[англ.][20].

Нахождение всех рёбер, паросочетаемых рёбер

[править | править код]

Одной из основных задач в теории паросочетаний является поиск всех рёбер, которые могут быть расширены до наибольшего паросочетания. Лучший детерминированный алгоритм решения этой задачи работает за время [21]. Существует рандомизированный алгоритм, решающий задачу за время [22]. В случае двудольного графа можно найти наибольшее паросочетание и использовать его для нахождения всех максимально паросочетаемых рёбер за линейное время[23]; что даст в результате для общих двудольных графов и для плотных двудольных графов с . В случае, если одно из наибольших паросочетаний известно заранее[24], общее время работы алгоритма будет .

Характеристики и замечания

[править | править код]

Теорема Кёнига утверждает, что в двудольных графах размер наибольшего паросочетания равен размеру наименьшего вершинного покрытия. Из этого следует, что для двудольных графов задачи нахождения наименьшего вершинного покрытия, наибольшего независимого множества, и максимальной вершинной биклики могут быть решены за полиномиальное время.

Теорема Холла (или теорема о свадьбах) обеспечивает характеризацию двудольных графов, имеющих совершенные паросочетания, а теорема Татта даёт характеризацию произвольных графов.

Совершенное паросочетание порождает остовный 1-регулярный подграф, то есть 1-фактор. В общем случае остовный k-регулярный подграф — это k-фактор.

Приложения

[править | править код]

Структурная формула Кекуле ароматических соединений состоит из совершенных паросочетаний их углеродного скелета, показывая местоположение двойных связей в химической структуре. Эти структуры названы в честь Фридриха Августа Кекуле, который показал, что бензол (в терминах теории графов — это цикл из 6 вершин) может быть представлен в виде такой структуры[25].

Индекс Хосойи — это число непустых паросочетаний плюс единица. Он применяется в вычислительной и математической химии для исследования органических соединений.

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Станислав Окулов. Дискретная математика. Теория и практика решения задач по информатике. Учебное пособие. — Litres, 2014-02-07. — С. 186. — 428 с. — ISBN 9785457534674.
  2. Alan Gibbons, Algorithmic Graph Theory, Cambridge University Press, 1985, Chapter 5.
  3. Евстигнеев В.А.,Касьянов В.Н. Series-parallel poset // Словарь по графам в информатике / Под редакцией проф. Виктора Николаевича Касьянова. — Новосибирск: ООО «Сибирское Научное Издательство», 2009. — Т. 17. — (Конструирование и оптимизация программ). — ISBN 978-591124-036-3.
  4. Фуад Алескеров, Элла Хабина, Дмитрий Шварц. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. — Litres, 2016-01-28. — С. 22. — 343 с. — ISBN 9785457966925.
  5. Рубчинский А. А. Дискретные математические модели. Начальные понятия и стандартные задачи. — Directmedia, 2014-08-06. — С. 136. — 269 с. — ISBN 9785445838029.
  6. Леонид Гладков, Владимир Курейчик, Виктор Курейчик. Генетические алгоритмы. — Litres, 2016-01-28. — С. 276. — 367 с. — ISBN 9785457965997.
  7. Леонид Гладков, Владимир Курейчик, Виктор Курейчик, Павел Сороколетов. Биоинспирированные методы в оптимизации. — Litres, 2016-01-28. — С. 330. — 381 с. — ISBN 9785457967472.
  8. Tibor Gallai. Über extreme Punkt- und Kantenmengen // Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.. — 1959. — Т. 2. — С. 133–138.
  9. 1 2 Douglas Brent West. Introduction to Graph Theory. — 2nd. — Prentice Hall, 1999. — ISBN 0-13-014400-2.
  10. 1 2 M. Mucha, P. Sankowski. Maximum Matchings via Gaussian Elimination // Proc. 45th IEEE Symp. Foundations of Computer Science. — 2004. — С. 248–255.
  11. Bala G. Chandran, Dorit S. Hochbaum. Practical and theoretical improvements for bipartite matching using the pseudoflow algorithm. — 2011. — arXiv:1105.1569..
  12. M. Fredman, R. Tarjan. Fibonacci heaps and their uses in improved network optimization algorithms // Journal of the ACM. — 1987. — Т. 34, вып. 3. — С. 596–615.
  13. Rainer Burkard, Mauro Dell’Amico, Silvano Martello. Assignment Problems. — Philadelphia: SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2009. — С. 77—79, 98. глава 4.1.3 Historical notes, books, and surveys, глава 4.4.3 Efficient implementations
  14. Silvio Micali, Vijay Vazirani. An algorithm for finding maximum matching in general graphs // Proc. 21st IEEE Symp. Foundations of Computer Science. — 1980. — С. 17–27. — doi:10.1109/SFCS.1980.12.
  15. Yannakakis Mihalis, Gavril Fanica. Edge dominating sets in graphs // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1980. — Т. 38, вып. 3. — С. 364–372. — doi:10.1137/0138030.
  16. Michael R. Garey, David S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. — W.H. Freeman, 1979. — ISBN 0-7167-1045-5.. Рёберное доминирующее множество обсуждается при рассмотрении задач нахождения доминирующих множеств, задачи GT2 в приложении A1.1. Минимальное по размеру максимальное паросочетание — это задача GT10 в приложении A1.1.
  17. Giorgio Ausiello, Pierluigi Crescenzi, Giorgio Gambosi, Viggo Kann, Alberto Marchetti-Spaccamela, Marco Protasi. Complexity and Approximation: Combinatorial Optimization Problems and Their Approximability Properties. — Springer, 2003. Минимальное доминирующее рёберное множество — это задача GT3 в приложении B (страница 370). Минимальное по размеру максимальное паросочетание — это задача GT10 в приложении B (страница 374). См. также Minimum Edge Dominating Set Архивная копия от 5 сентября 2013 на Wayback Machine и Minimum Maximal Matching Архивная копия от 6 марта 2014 на Wayback Machine в web compendium Архивная копия от 2 октября 2013 на Wayback Machine.
  18. Ivona Bezáková, Daniel Štefankovič, Vijay V. Vazirani, Eric Vigoda. Accelerating Simulated Annealing for the Permanent and Combinatorial Counting Problems // SIAM Journal on Computing. — 2008. — Т. 37, вып. 5. — С. 1429–1454. — doi:10.1137/050644033.
  19. David Callan. A combinatorial survey of identities for the double factorial. — 2009. — arXiv:0906.1317.
  20. Extremal problems for topological indices in combinatorial chemistry // Journal of Computational Biology. — 2005. — Т. 12, вып. 7. — С. 1004–1013. — doi:10.1089/cmb.2005.12.1004.
  21. Marcelo H.de Carvalho, Joseph Cheriyan. An algorithm for ear decompositions of matching-covered graphs // Proc. ACM/SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA). — 2005. — С. 415–423.
  22. Michael O. Rabin, Vijay V. Vazirani. Maximum matchings in general graphs through randomization // J. of Algorithms. — 1989. — Т. 10. — С. 557–567.
  23. Tamir Tassa. Finding all maximally-matchable edges in a bipartite graph // Theoretical Computer Science. — 2012. — Т. 423. — С. 50–58. — doi:10.1016/j.tcs.2011.12.071.
  24. Aris Gionis, Arnon Mazza, Tamir Tassa. k-Anonymization revisited // International Conference on Data Engineering (ICDE). — 2008. — С. 744–753.
  25. Смотрите, например, Nenad Trinajstić, Douglas J. Klein, Milan Randić. On some solved and unsolved problems of chemical graph theory. — 1986. — Т. 30, вып. S20. — С. 699–742. — doi:10.1002/qua.560300762.

Литература для дальнейшего чтения

[править | править код]
  1. László Lovász, Michael D. Plummer. Matching Theory. — North-Holland, 1986. — ISBN 0-444-87916-1.
  2. Introduction to Algorithms. — second. — MIT Press and McGraw–Hill, 2001. — ISBN 0-262-53196-8.
  1. S. J. Cyvin, Ivan Gutman. Kekule Structures in Benzenoid Hydrocarbons. — Springer-Verlag, 1988.
  2. Marek Karpinski, Wojciech Rytter. Fast Parallel Algorithms for Graph Matching Problems. — Oxford University Press, 1998. — ISBN 978-0-19-850162-6.