Абсолютное отклонение

В математическом анализе абсолютным отклонением двух функций на заданном сегменте называется следующее значение:

$\Delta =\sup _{a\leqslant x\leqslant b}|f(x)-g(x)|$,

где $f(x),g(x)$ — некоторые функции, $[a,b]$ — сегмент, $\sup$ — операция взятия супремума.

В статистике абсолютное отклонение элементов в совокупности данных — абсолютная разница между элементом и выбранной точкой, от которой отсчитывается отклонение. В случаях, когда заведомо известно, что выбранная точка является константой, а распределение элементов данных симметрично относительно неё, — при отсутствии дополнительных данных за точку отсчёта абсолютного отклонения принимается медиана или среднее значение рассматриваемой совокупности данных:

$|D|=|x_{i}-m(X)|,$

где

$|D|$ — абсолютное отклонение,

$x_{i}$ — элемент совокупности данных,

$m(X)$ — одно из средних значений совокупности данных; это может быть среднее арифметическое (${\overline {x}}$), но чаще всего в качестве среднего значения берётся медиана.

Среднее абсолютное отклонение, или просто среднее отклонение (англ. MAD, mean absolute deviation) — величина, используемая для оценки прогнозных функций:

$MAD={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|$

Расчёт среднего отклонения, так же, как и стандартного отклонения, может использоваться для оценки разброса значений в наборе данных. Выбор между двумя метриками осуществляется исходя из распределения данных. Если данные распределены нормально, используется стандартное отклонение. Если нет — среднее отклонение. Среднее абсолютное отклонение использовалось в качестве оценки отклонения в исследовании операций на заре развития вычислительной техники, так как требовало меньших затрат вычислительных ресурсов по сравнению с более целесообразным среднеквадратическим отклонением.

Выбор среднего значения $m(X)$ сильно влияет на среднее отклонение. Например, для совокупности {2, 2, 3, 4, 14}:

Среднее значение $m(X)$	Среднее абсолютное отклонение
Среднее арифметическое = 5	${\frac {|2-5|+|2-5|+|3-5|+|4-5|+|14-5|}{5}}=3.6$
Медиана = 3	${\frac {|2-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|14-3|}{5}}=2.8$
Мода = 2	${\frac {|2-2|+|2-2|+|3-2|+|4-2|+|14-2|}{5}}=3.0$

Если в качестве средней величины выбрать медиану, то среднее абсолютное отклонение окажется наименьшим (из определения медианы). Если же выбрать среднее арифметическое — минимальным окажется среднее квадратическое отклонение: таким образом может определяться само среднее арифметическое.

См. также

• Среднее значение
• Дисперсия случайной величины