Стандартное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стандартное отображение (англ. Standard map), известное также как стандартное отображение Чирикова (англ. Chirikov standard map) и отображение Чирикова — Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) — нелинейное отображение (сохраняющее объём) для двух канонических переменных, (импульса и координаты). Отображение известно своими хаотическими свойствами, которые впервые были исследованы[1] Борисом Чириковым в 1969 году.

Отображение задается такими итерационными уравнениями:

где параметр контролирует хаотичность системы.

Модель ротатора[править | править вики-текст]

Стандартное отображение описывает движение классического ротатора — фиксированного стержня, на который не действует сила тяжести и который вращается без трения в плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов. Ротатор также испытывает вызванные внешней силой периодические во времени (с периодом единица) удары бесконечно короткой продолжительности. Переменные и соответствуют углу поворота ротатора и его угловому моменту после -го удара. Параметр описывает силу удара. Функция Гамильтона ротатора может быть записана так:

где функция  — периодическая функция с периодом 1, на одном периоде совпадает с δ-функцией Дирака. Из вышеприведенной функции Гамильтона элементарно получается стандартное отображение.

Свойства[править | править вики-текст]

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

Для случая отображение является линейным, поэтому существуют лишь периодические и квазипериодические траектории. При отображение становится нелинейным, согласно теореме КАМ, происходит разрушение инвариантных торов и движения стохастических слоев, в которых динамика является хаотической. Рост приводит к увеличению областей хаоса на фазовой плоскости . Благодаря периодичности функции , динамику системы можно рассматривать на цилиндре [взяв ] или на торе [взяв ].

Стационарные точки отображения определяются из условия . На интервале , такими точками являются и (вследствие симметричности фазовой плоскости системы при инверсии относительно точки стационарные точки и можно не рассматривать).

Анализ линейной устойчивости отображения сводится к анализу системы уравнений

Из условия можно определить собственные значения матрицы для обоих стационарных точек [ и ]:

Поскольку , то отсюда следует неравенство . В то же время справедливо неравенство для произвольных . Таким образом стационарная точка является неустойчивой гиперболической точкой. Стационарная точка является устойчивой эллиптической точкой при , поскольку тогда . Для стационарная точка теряет устойчивость и становится гиперболической.

Ниже критического значения параметра, (рис. 1) инвариантные торы делят фазовое пространство системы так, что момент импульса является ограниченным — иными словами, диффузия в стохастическом слое не может выходить за границы, ограниченные инвариантными торами. «Золотой» инвариантный тор разрушается, когда число вращения достигает значения , что соответствует критическому значению параметра (фазовое пространство системы для изображено на рис. 2). На данный момент строго не доказано, что , однако численные расчеты показывают, что это скорее всего так. На сегодняшний день существует лишь строгое доказательство того, что при наблюдается режим глобального хаоса, когда стохастическое море с отдельными островками устойчивости покрывает всё фазовое пространство (см. рис. 3). Инвариантных торов, ограничивающих эволюцию в фазовом пространстве, уже нет, и можно говорить о диффузии траектории в хаотическом море.

Энтропия Колмогорова — Синая стандартного отображения хорошо описывается соотношением для значений контрольного параметра [2]

Квантовое стандартное отображение[править | править вики-текст]

Переход на квантового стандартного отображения происходит заменой динамических переменных квантовомеханическими операторами , которые удовлетворяют коммутационному соотношению , где  — эффективная безразмерная постоянная Планка.

Основным свойством квантового отображения по сравнению с классическим является так называемое явление динамической локализации, заключающейся в подавлении хаотической диффузии за счёт квантовых эффектов[3].

Применение[править | править вики-текст]

Много физических систем и явлений сводятся к стандартному отображению. Это, в частности,

  • динамика частиц в ускорителях;
  • динамика кометы в Солнечной системе;
  • микроволновая ионизация ридберговских атомов и автоионизация молекулярных ридберговских состояний;
  • электронный магнетотранспорт в резонансном туннельном диоде;
  • удержание заряженных частиц в зеркальных магнитных ловушках.

Модель Френкеля — Конторовой[править | править вики-текст]

Модель Френкеля — Конторовой следует выделить отдельно как первую модель, в которой уравнения стандартного отображения были записаны аналитически. Эта модель используется для описания динамики дислокаций, монослоев на поверхностях кристаллов, волн плотности заряда, сухого трения. Модель в стационарном случае задаёт связь между положениями взаимодействующих частиц (например, атомов) в поле пространственно-периодического потенциала. Функция Гамильтона одномерной цепочки атомов, взаимодействующих с ближайшими соседями через параболический потенциал взаимодействия и находящимися в поле косинусоидального потенциала, который описывает кристаллическую поверхность, имеет следующий вид:

Здесь  — отклонение атома от своего положения равновесия. В стационарном случае () это приводит к следующему уравнению

которое заменой можно свести к обычной записи стандартного отображения.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Chirikov B. V. Research concerning the theory of nonlinear resonance and stochasticity // Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
  2. Chirikov B. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 52: 263 (1979).
  3. Casati G., Chirikov B. V., Izrailev F. M., Ford J. Lecture Notes in Physics — Berlin: Springer, 93: 334 (1979).

Литература[править | править вики-текст]