Стандартное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стандартное отображение (англ. Standard map), известное также как стандартное отображение Чирикова (англ. Chirikov standard map) и отображение Чирикова — Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) — нелинейное отображение (сохраняющее объём) для двух канонических переменных, (p,\;x) (импульса и координаты). Отображение известно своими хаотическими свойствами, которые впервые были исследованы[1] Борисом Чириковым в 1969 году.

Отображение задается такими итерационными уравнениями:

\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_n+K\sin x_n, \\ {x}_{n+1}=x_n+p_{n+1},\end{array}

где параметр K контролирует хаотичность системы.

Модель ротатора[править | править исходный текст]

Стандартное отображение описывает движение классического ротатора — фиксированного стержня, на который не действует сила тяжести и который вращается без трения в плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов. Ротатор также испытывает вызванные внешней силой периодические во времени (с периодом единица) удары бесконечно короткой продолжительности. Переменные x_n и p_n соответствуют углу поворота ротатора и его угловому моменту после n-го удара. Параметр K описывает силу удара. Функция Гамильтона ротатора может быть записана так:

H=\frac{p^2}{2}+K\delta_{Per}(t)\cos x,

где функция \delta_{Per}(t) — периодическая функция с периодом 1, на одном периоде совпадает с δ-функцией Дирака. Из вышеприведенной функции Гамильтона элементарно получается стандартное отображение.

Свойства[править | править исходный текст]

Рис. 1. \scriptstyle{K=0{,}6}
Рис. 2. \scriptstyle{K=0{,}971\ 635}
Рис. 3. \scriptstyle{K=1{,}2}

Для случая K=0 отображение является линейным, поэтому существуют лишь периодические и квазипериодические траектории. При K\neq 0 отображение становится нелинейным, согласно теореме КАМ, происходит разрушение инвариантных торов и движения стохастических слоев, в которых динамика является хаотической. Рост K приводит к увеличению областей хаоса на фазовой плоскости (x,\;p). Благодаря периодичности функции \sin(x), динамику системы можно рассматривать на цилиндре [взяв x\;\bmod\;(2\pi)] или на торе [взяв (x,\;p)\;\bmod\;(2\pi)].

Стационарные точки отражения определяются из условия (x_n,\;p_n)=(x_{n+1},\;p_{n+1}). На интервале x\in[0,\;2\pi[, p\in[0,\;2\pi[ такими точками являются (0,\;0) и (\pi,\;0) (вследствие симметричности фазовой плоскости системы (x_n,\;p_n) при инверсии относительно точки (\pi,\;\pi) стационарные точки (0,\;\pi) и (\pi,\;\pi) можно не рассматривать).

Анализ линейной устойчивости отображения сводится к анализу системы уравнений

\left[\begin{array}{c}\delta x_{n+1} \\ \delta p_{n+1}\end{array}\right ]={\hat M}\left[\begin{array}{c}\delta x_{n} \\ \delta p_{n}\end{array}\right],
{\hat M}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1+ K\cos x_n \\ 1 & K\cos x_n\end{array}\right].

Из условия \det|{\hat M}-\lambda{\hat I}|=0 можно определить собственные значения матрицы {\hat M} для обоих стационарных точек [(0,\;0) и (\pi,\;0)]:

\lambda_\pm^{(0,\;0)}=\frac{2+K\pm\sqrt{K^2+4K}}{2},
\lambda_\pm^{(\pi,\;0)}=\frac{2-K\pm\sqrt{K^2-4K}}{2}.

Поскольку K>0, то отсюда следует неравенство \lambda_{+}^{(0,\;0)}>1. В то же время справедливо неравенство \lambda_{-}^{(0,\;0)}<\lambda_{+}^{(0,\;0)}<1 для произвольных K>0. Таким образом стационарная точка (0,\;0) является неустойчивой гиперболической точкой. Стационарная точка (\pi,\;0) является устойчивой эллиптической точкой при 0\leqslant K<4, поскольку тогда \mathrm{Re}\left|\lambda_{\pm}^{(\pi,\;0)}\right|=1. Для K\geqslant 4 стационарная точка (\pi,\;0) теряет устойчивость и становится гиперболической.

Ниже критического значения параметра, K<K_c (рис. 1) инвариантные торы делят фазовое пространство системы так, что момент импульса p является ограниченным — иными словами, диффузия p в стохастическом слое не может выходить за границы, ограниченные инвариантными торами. «Золотой» инвариантный тор разрушается, когда число вращения достигает значения r_g=(\sqrt{5}-1)/2, что соответствует критическому значению параметра K_g=0{,}971\ 635\ldots (фазовое пространство системы для K=0{,}971\ 635 изображено на рис. 2). На данный момент строго не доказано, что K_c=K_g, однако численные расчеты показывают, что это скорее всего так. На сегодняшний день существует лишь строгое доказательство того, что при K>63/64=0{,}984\;375>K_c наблюдается режим глобального хаоса, когда стохастическое море с отдельными островками устойчивости покрывает всё фазовое пространство (см. рис. 3). Инвариантных торов, ограничивающих эволюцию в фазовом пространстве, уже нет, и можно говорить о диффузии траектории в хаотическом море.

Энтропия Колмогорова — Синая стандартного отображения хорошо описывается соотношением h\approx\ln(K/2) для значений контрольного параметра K>4[2]

Квантовое стандартное отображение[править | править исходный текст]

Переход на квантового стандартного отображения происходит заменой динамических переменных (p,\;x) квантовомеханическими операторами ({\hat p},\;{\hat x}), которые удовлетворяют коммутационному соотношению [{\hat p},\;{\hat x}]=-i\hbar, где \hbar — эффективная безразмерная постоянная Планка.

Основным свойством квантового отображения по сравнению с классическим является так называемое явление динамической локализации, заключающейся в подавлении хаотической диффузии за счёт квантовых эффектов[3].

Применение[править | править исходный текст]

Много физических систем и явлений сводятся к стандартному отображению. Это, в частности,

Модель Френкеля — Конторовой[править | править исходный текст]

Модель Френкеля — Конторовой следует выделить отдельно как первую модель, в которой уравнения стандартного отображения были записаны аналитически. Эта модель используется для описания динамики дислокаций, монослоев на поверхностях кристаллов, волн плотности заряда, сухого трения. Модель в стационарном случае задаёт связь между положениями взаимодействующих частиц (например, атомов) в поле пространственно-периодического потенциала. Функция Гамильтона одномерной цепочки атомов, взаимодействующих с ближайшими соседями через параболический потенциал взаимодействия и находящимися в поле косинусоидального потенциала, который описывает кристаллическую поверхность, имеет следующий вид:

H=\sum_n\left(\frac{P_n^2}{2}+\frac{(x_{n+1}-x_n)^2}{2}-K\cos x_n\right),\quad P_n={\dot x}_n.

Здесь x_n — отклонение атома от своего положения равновесия. В стационарном случае (P_n\equiv 0) это приводит к следующему уравнению

x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=K\sin x_n,

которое заменой p_{n+1}=x_{n+1}-x_n можно свести к обычной записи стандартного отображения.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Chirikov B. V. Research concerning the theory of nonlinear resonance and stochasticity // Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
  2. Chirikov B. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 52: 263 (1979).
  3. Casati G., Chirikov B. V., Izrailev F. M., Ford J. Lecture Notes in Physics — Berlin: Springer, 93: 334 (1979).

Литература[править | править исходный текст]