Тензор Эйнштейна

Те́нзор Эйнште́йна ($G_{\mu \nu }$) — тензорная величина, представляющая собой вариационную производную скалярной кривизны связности Леви-Чивиты по метрическому тензору. В этом качестве стоит в левой части уравнения Эйнштейна. Тензор Эйнштейна — симметричный тензор второго ранга в n-мерном пространстве, то есть содержит $n(n+1)/2$ независимых компонентов, представляющих собой сложные комбинации компонент метрического тензора и его первых и вторых производных.

Тензор Эйнштейна равен разности тензора Риччи $R_{\mu \nu }$ и половины метрического тензора $g_{\mu \nu }$, умноженного на скалярную кривизну $R$:

$G_{\mu \nu }\,=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R$.

Домножив обе части этого равенства на $g^{\mu \nu }$ и произведя свёртку, находим след тензора Эйнштейна:

$\operatorname {Tr} \,G_{\mu \nu }\,={\frac {2\,-n}{2}}\,R$.

При этом в частном случае четырёхмерного пространства:

$\operatorname {Tr} \,G_{\mu \nu }\,=-\,R$.

Ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна тождественно равна нулю

$G_{\nu ;\mu }^{\mu }\equiv 0$,

что служит обоснованием его использования в левой части уравнения Эйнштейна, так как такое же свойство выполняется для тензора энергии-импульса.

См. также

• Математическая формулировка общей теории относительности

Литература

• Ohanian, Hans C. Gravitation and Spacetime / Hans C. Ohanian, Remo Ruffini. — Second. — W. W. Norton & Company, 1994. — ISBN 978-0-393-96501-8.
• Martin, John Legat. General Relativity: A First Course for Physicists. — Revised. — Prentice Hall, 1995. — ISBN 978-0-13-291196-2.