Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии $M$$M$, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность $\nabla$$\nabla$ на римановом многообразии $(M,\;g)$$(M,\;g)$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей $X$$X$, $Y$$Y$, $Z$$Z$ верно
        $X(g(Y,\;Z))=g(\nabla _{X}Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla _{X}Z)$$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$,
   где $X(g(Y,\;Z))$$X(g(Y,\;Z))$ обозначает производную $g(Y,Z)$$g(Y,Z)$ в направлении $X$$X$.
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей $X$$X$ и $Y$$Y$
        $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0$$\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$,
   где $[X,\;Y]$$[X,\;Y]$ скобки Ли векторных полей $X$$X$ и $Y$$Y$.

Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также

• Ковариантная производная
• Ковариантное дифференцирование
• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля