Теорема о равномерной непрерывности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Кантора — Гейне»)
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтораГе́йне говорит, что непрерывная функция определённая на компакте, равномерно непрерывна.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть даны два метрических пространства и Пусть также дано компактное подмножество и определённая на нём непрерывная функция Тогда равномерно непрерывна на

Замечания[править | править вики-текст]

  • В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

История[править | править вики-текст]

Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне.[1] Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале [2] В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.

Основной вклад по-видимому принадлежит Больцано.[3]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), pp. 353–365
  2. Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172–188.
  3. Rusnock, Paul, and Angus Kerr-Lawson. "Bolzano and uniform continuity." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.