Теорема Кёнига (механика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.[1]

Формулировка[править | править вики-текст]

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

где  — полная кинетическая энергия системы,  — кинетическая энергия движения центра масс,  — относительная кинетическая энергия системы[2].

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её сферическом движении относительно центра масс.

Более точная формулировка: полная кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетической энергии всей массы системы, сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со скоростью центра масс плюс кинетическая энергия той же системы в ее относительной системе относительно центра масс

Вывод[править | править вики-текст]

Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему ,  распределены непрерывно[3].

Найдём относительную кинетическую энергию системы ,  трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть  — радиус-вектор рассматриваемой точки системы   в подвижной системе координат. Тогда[4]:

где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.

Если  — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а  — радиус-вектор рассматриваемой точки системы   в исходной системе координат, то верно соотношение:

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:

Учитывая, что радиус-вектор одинаков для всех , можно, раскрыв скобки, вынести за знак интеграла:

Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироваться[2] как кинетическая энергия движения центра масс.

Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём получается дифференцированием по времени произведения радиус-вектора центра масс на массу системы[5], но упомянутый радиус-вектор (а с ним и всё произведение) равен нулю:

так как начало координат подвижной системы находится (по сделанному предположению) в центре масс.

Третье же слагаемое, как было уже показано, равно , т. е. относительной кинетической энергии системы .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гернет М. М.  Курс теоретической механики. 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1987. — 344 с.
  • Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3.