Теорема Лебега о разложении меры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вводные определения

Пусть  — монотонно неубывающая функция, непрерывная справа на отрезке . На вводится борелевская алгебра:

,
,
,
,

 — мера Стилтьеса на отрезке , для производящей функции которой: . Поэтому можно продолжить меру на всю числовую прямую.

Частные случаи производящей функции:

  •  — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество  — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

 — дискретная мера.

  • Функция F непрерывна, монотонно не убывает на , на .

 — абсолютно непрерывная мера.

  •  — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение равно 1 на всём отрезке, но почти всюду ). Мера сосредоточена в точках роста функции.
Теорема разложения меры

Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.