Монотонная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1. Монотонная функция, неубывающая на сегменте.
Рис. 2. Монотонная функция, невозрастающая на сегменте.
Рис. 3. Функция, не являющаяся монотонной на сегменте.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой в каждой точке некоторого множества при увеличении значения аргумента либо не отрицательное, либо не положительное. Если при этом приращение функции не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Монотонная функция — это функция, которая, если меняется при увеличении значения аргумента, то лишь в одном направлении.

Строго монотонная функция — это функция, которая изменяется при увеличении значения аргумента и только в одном направлении.

Определения[1][править | править вики-текст]

  • Функция f(x) называется неубывающей на некотором множестве, если для любых двух точек x_1 и x_2 этого множества, таких что x_1<x_2, справедливо неравенство f(x_1) \le f(x_2).
  • Функция f(x) называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек x_1 и x_2 этого множества, таких что x_1<x_2, справедливо неравенство f(x_1)<f(x_2). Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Функция f(x) называется невозрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек x_1 и x_2 этого множества, таких что x_1<x_2, справедливо неравенство f(x_1) \ge f(x_2).
  • Функция f(x) называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек x_1 и x_2 этого множества, таких что x_1<x_2, справедливо неравенство f(x_1)>f(x_2). Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными, возрастающие и убывающие функции — строго монотонными.

Свойства монотонных функций[править | править вики-текст]

Условия монотонности функции[править | править вики-текст]

  • Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть функция f непрерывна на интервале (a,b), то есть f \in C (a,b), и имеет в каждой точке x\in (a,b) производную f'(x). Тогда
     f не убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда \forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge  0;

f не возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда \forall x \in (a,b)\; f'(x) \le  0.
  • Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть функция f \in C  (a,b) и имеет в каждой точке x\in (a,b) производную f'(x). Тогда

если \forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0, то f возрастает на (a,b);
если \forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0, то f убывает на (a,b).

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

  • Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть f\in C (a,b) , и всюду на интервале существует производная f'(x). Тогда f возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. \forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;
  2. \forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.

Аналогично, f убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. \forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;
  2. \forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Функция f(x)=x^3 возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка x=0 является стационарной, то есть в этой точке f'(x)=0.
  • Функция f(x)=x^2 возрастает на полупрямой x\ge 0, несмотря на то, что f'(x)\ge0 на этом множестве.
  • Функция f(x)= \sin x является возрастающей не только на интервале (- \pi /2; \pi /2), где f'(x)>0, но и на сегменте [- \pi /2; \pi /2], где f'(x)\ge0.
  • Экспонента f(x) = e^x возрастает на всей числовой прямой.
  • Константа f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R} одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
  • Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю почти всюду.
  • Функция Минковского — пример сингулярной возрастающей функции.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 4. Непрерывность функции // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 146. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также[править | править вики-текст]