Монотонная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рисунок 1. Монотонно возрастающая функция. Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает.
Рисунок 2. Монотонно убывающая функция.
Рисунок 3. Функция не являющаяся монотонной

Моното́нная фу́нкция — это функция, которая всё время либо не убывает, либо не возрастает. Более точно, это функция , приращение которой при не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения[править | править код]

Пусть дана функция Тогда

  • функция называется возраста́ющей на , если
.
  • функция называется стро́го возраста́ющей на , если
.
  • функция называется убыва́ющей на , если
.
  • функция называется стро́го убыва́ющей на , если
.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология[править | править код]

Иногда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумевается строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающюю) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая)[2]:

  • Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  • Функция называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо .
  • Функция называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо .
  • Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.

Свойства монотонных функций[править | править код]

Условия монотонности функции[править | править код]

  • (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
    не убывает на тогда и только тогда, когда
    не возрастает на тогда и только тогда, когда
  • (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
    если то строго возрастает на
    если то строго убывает на

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место

  • (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная Тогда строго возрастает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Примеры[править | править код]

  • Функция строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка является стационарной, т.е. в этой точке .
  • Функция является строго возрастающей не только на открытом интервале , но и на замкнутом интервале .
  • Экспонента строго возрастает на всей числовой прямой.
  • Константа одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
  • Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
  • Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Отображение между топологическими пространствами называется монотонным если каждая точка имеет связный прообраз .[3]
    • Заметим, что из определения следует, что монотонное отображение всегда сюрьективно, то есть

Примечания[править | править код]

  1. Монотонная функция / Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 4. Непрерывность функции // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 146. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  3. Collins, P. J. (1971). Concordant mappings and the concordant-dissonant factorization of an arbitrary continuous function. Proceedings of the American Mathematical Society, 27(3), 587-591.

См. также[править | править код]