Полукольцо
Полукольцо — общеалгебраическая структура, похожая на кольцо, но без требования существования противоположного по сложению элемента.
Определения[править | править код]
Множество , с заданными на нем бинарными операциями и , называется полукольцом, если для любых элементов выполняются следующие условия:[1][2][3]
- — коммутативный моноид. То есть имеют место свойства:
- Коммутативности:
- Ассоциативности:
- Существования нейтрального элемента (нуля):
- — полугруппа. То есть, дополнительно, имеет место свойство:
- Умножение дистрибутивно относительно сложения:
- Левая дистрибутивность:
- Правая дистрибутивность:
- Мультипликативное свойство нуля:
Для кольца последнее соотношение не требуется, поскольку оно следует из других, для полукольца оно необходимо. Отличие полукольца от кольца состоит только в том, что по сложению полукольцо образует не коммутативную группу, а только коммутативный моноид.
Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения в нём коммутативна: .
Полукольцо называется полукольцом с единицей, если в нём существует нейтральный элемент по умножению (называемый единицей): .
Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) сократимым, если из равенства (или, соответственно, ) следует, что .
Полукольцо называется идемпотентным, если для любого выполняется равенство
Примеры полуколец[править | править код]
- Полукольцо натуральных чисел с нулем.
- Тривиальное полукольцо:
- Двухэлементные полукольца: , , где обозначает дизъюнкцию, а — логическую операцию «исключающее или» на множестве
- Квадратные матрицы с элементами из полукольца натуральных чисел с нулем и операциями матричного сложения и умножения. Также полукольцо образуют квадратные матрицы с элементами из любого полукольца.
- Если — коммутативный моноид, то множество эндоморфизмов образует полукольцо, где сложение определено поточечно, а умножение — как композиция функций.
- — многочлены с натуральными коэффициентами — образуют коммутативное полукольцо; это свободное коммутативное полукольцо с единственным генератором .
- Вероятностное полукольцо — неотрицательные действительные числа с обычными операциями сложения и умножения[2].
- и — полукольца вещественных чисел, в которых сложение определено как взятие максимума (соответственно минимума), а умножение — как обычное сложение вещественных чисел. Для первого случая подмножество должно быть четко ограничено снизу, для второго - сверху.
Приложения[править | править код]
Идемпотентные кольца, особенно и , часто используются в методах оценки персонала. Вещественные числа здесь обозначают «время прибытия» или «затраты», операция обозначает необходимость ожидать выполнения всех предпосылок для совершения действия (соответственно, обозначает способность выбрать наименее затратный вариант) и + обозначает сложение времени (затрат) при прохождении одного и того же пути.
Алгоритм Флойда — Уоршелла поиска кратчайших путей может быть переформулирован для вычислений над -алгеброй. Также и алгоритм Витерби поиска наиболее вероятной последовательности состояний в скрытой марковской модели может быть переформулирован для вычислений над -алгеброй вероятностей. Эти алгоритмы динамического программирования используют дистрибутивность соответствующих полуколец для расчета свойств при использовании большого (возможно, экспоненциально большого) числа переменных более эффективно, чем перечисляя каждую из них.
Полукольцо множеств[править | править код]
Полукольцо множеств[4] — система множеств , для которой выполнены следующие условия:
- ;
- ;
- .
Таким образом, полукольцо множеств содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения и любая разность множеств из полукольца множеств представима в виде конечного объединения дизъюнктных (попарно не пересекающихся) множеств, принадлежащих этому полукольцу множеств. Такие полукольца часто используются в теории меры.
Полукольцом множеств с единицей называют полукольцо множеств с таким элементом , что его пересечение с любым элементом полукольца множеств равно . Применяя метод математической индукции, можно расширить последний пункт определения: если множества являются элементами полукольца множеств и подмножествами элемента , то их можно дополнить непересекающимися элементами до . Любое кольцо множеств является полукольцом множеств. Прямое произведение полуколец множеств также является полукольцом множеств.
Примечания[править | править код]
- ↑ Berstel & Perrin (1985)
- ↑ 1 2 Lothaire (2005) p.211
- ↑ Sakarovitch (2009) pp.27-28
- ↑ Noel Vaillant, Caratheodory’s Extension Архивная копия от 14 апреля 2016 на Wayback Machine, on probability.net.
Литература[править | править код]
- François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version), Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X
- Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR: 1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8 MR: 1746739
- Berstel, Jean; Perrin, Dominique. Theory of codes (неопр.). — Academic Press, 1985. — Т. 117. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-093420-1.
- Lothaire, M. Applied combinatorics on words (неопр.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2005. — Т. 105. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-84802-4.