Теорема Лузина

Теоре́ма Лу́зина утверждает, что любая борелевская функция на множестве конечной меры является непрерывной на некотором подмножестве, мера которого сколь угодно близка к мере всего множества.

Доказательство теоремы Лузина может быть получено с помощью теоремы Егорова.

Формулировка

Пусть $f:D\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ есть борелевская функция, и $m(D)<\infty$, где $m$ есть мера Лебега на $\mathbb {R}$. Тогда $\forall \varepsilon >0,\;\exists D_{\varepsilon }\subset D$, такое что $m(D\setminus D_{\varepsilon })<\varepsilon$ и $\left.f\right\vert _{D_{\varepsilon }}\in C(D_{\varepsilon })$, то есть сужение функции $f$ на $D_{\varepsilon }$ непрерывно.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.