Теорема Сазонова

Теорема Сазонова относится к области функционального анализа.

Теорема утверждает, что ограниченный линейный оператор между двумя Гильбертовыми пространствами является радонифицирующим, если это оператор Гильберта — Шмидта. Так же верно и обратное: если оператор не Гильберта-Шмидта, то он не является γ-радонизующим.

Результат также важен при изучении случайных процессов и Malliavin calculus, так как результаты, касающиеся вероятностной меры на бесконечномерных пространствах имеют центральное значение в этих областях.

Теорема

Пусть G и H гильбертовы пространства и T : G → H ограниченный оператор из G в H.

T называется γ-радонизующим, если образ меры под действием отображения canonical Gaussian cylinder set measure on G is a bona fide measure on H.

T является оператором Гильберта-Шмидта, если в нём существует ортонормированный базис { e_i | i ∈ I } из G, такой что

$\sum _{i\in I}\|T(e_{i})\|_{H}^{2}<+\infty .$

Теорема Сазонова утверждает, что T является γ-радонизующим, если это оператор Гильберта-Шмидта.

Для доказательства теоремы используется теорема Прохорова.