Теорема Тэйта — Кнезера

Вложенные соприкасающаяся окружности архимедовой спирали. Сама спираль не показана, но видна там, где круги более плотные.

Теорема Тэйта — Кнезера о спирали утверждает, что, если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга. В частности, они не пересекаются; отсюда следует, что кривая не имеет самопересечений.

Логарифмическая спираль, а также архимедова спираль — примеры кривых с монотонной кривизной.

Теорема названа по имени Питера Тэйта, который доказал её в 1896 году, и Адольфа Кнезера, который переоткрыл её в 1912 году.

Доказательство строится на свойствах эволюты кривой. Для кривых с монотонной кривизной длина дуги эволюты между двумя центрами кривизны равна разности соответствующих радиусов кривизны. Эта длина дуги должна быть больше, чем расстояние по прямой между теми же двумя центрами, поэтому соприкасающиеся окружности имеют центры ближе друг к другу, чем разность их радиусов, из чего следует утверждение теоремы.

Вариации и обобщения

Аналогичные теоремы могут быть доказаны для семейства многочленов Тейлора заданной гладкой функции и для соприкасающихся коник заданной кривой.

Литература

• Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergei; Timorin, Vladlen (2013), "Osculating curves: around the Tait–Kneser theorem", The Mathematical Intelligencer, 35 (1): 61—66, arXiv:1207.5662, doi:10.1007/s00283-012-9336-6, MR 3041992
• Kneser, Adolf (1912), "Bemerkungen über die Anzahl der Extreme der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht-euklidischen Geometrie", Festschrift Heinrich Weber zu seinem siebzigsten Geburtstag am 5. März 1912 gewidmet von Freunden und Schülern; mit dem Bildnis von H. Weber in Heliogravüre und Figuren im Text, Leipzig: B. G. Teubner, pp. 170—180
• P. Tait (February 1895), "Note on the Circles of Curvature of a Plane Curve", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 14: 26, doi:10.1017/s0013091500031710