Архимедова спираль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 0
Рис. 1

Архимедова спиральспираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1)  \rho = k\phi, \,\!

где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Повороту прямой на 2\pi соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2k\pi. Число a — называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

\rho = \frac{a}{2\pi}\phi. \,\!


При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Рис. 2

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям \phi соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали a = 2k\pi. При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

Площадь сектора[править | править исходный текст]

Площадь S сектора OCM:

S = \frac{1}{6} \phi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right)\,\!,

  \left(2 \right)

где \rho = OC, \rho' = OM, \phi = \angle COM.

При \rho = 0, \rho' = a, \phi = 2\pi, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1 \,\!,

где S'_1 — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — a.

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали[править | править исходный текст]

Бесконечно малый отрезок дуги dl равен (см. Рис.3):

Рис. 3. Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2}\,\!,

где d\rhoприращение радиуса \rho, при приращении угла \phi на d\phi. Для бесконечно малого приращения угла d\phi, справедливо:

dh^2 = \left(\rho d \phi \right)^2 \,\!.

Поэтому:

dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \phi^2} \,\!

так как \rho = k\phi и

d \rho = k d \phi

или

dl = \sqrt{k^2 d \phi^2 + k^2 \phi^2 d \phi^2} \,\!
dl = k d \phi \sqrt{1 + \phi^2} \,\!.

Длина дуги L равна интегралу от  dl по  d \phi в пределах от  0 до  \phi:

 L = \int\limits_{0}^ {\phi} k \sqrt{1 + \phi^2}  d \phi \,\!
 L = \frac{k}{2} \left[ \phi \sqrt{1 + \phi^2} + \ln \left( \phi + \sqrt{1 + \phi^2}\right) \right] \,\!.