Теорема Эйлера о треугольнике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году.[1] Однако тот же результат был получен ранее Уильямом Чапплом[англ.] в 1746 году[2].

Формулировка

[править | править код]

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

где  — радиус описанной,  — радиус вписанной окружности.

В 1969 году Георгий Александров дал развернутую формулу:

где  — стороны треугольника.
  • Приведённую формулу можно переписать следующим образом
    .
или
  • Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера
    .
    • Существует более сильная форма этого неравенства[3]:с. 198, а именно:
где  — стороны треугольника.
  • Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Доказательство

[править | править код]

Пусть  — центр описанной окружности треугольника , а  — центр вписанной окружности. Если луч пересекает описанную окружность в точке , то является средней точкой дуги . Проведём луч и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как . Тогда будет диаметром описанной окружности. Из точки опустим перпендикуляр на Тогда Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

Можно заметить, что слева стоит степень точки относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки). То есть, достаточно доказать равенство . По лемме о трезубце значит, достаточно доказать, что . Теперь заметим, что и то есть, требуемое равенство можно переписать в виде Перепишем его ещё немного: . Это равенство следует из подобия треугольников и . В самом деле, углы и у этих треугольников прямые, а углы и равны, потому что оба опираются на дугу (более того, отношение равно синусу угла ).

Вариации и обобщения

[править | править код]

Для центра вневписанной окружности

[править | править код]

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

где  — радиус одной из вневписанных окружностей, а  — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности[4][5][6].

Для многоугольников

[править | править код]
Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.
  • Для радиусов и соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
    ,
или эквивалентно,

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Авксентьев, Е. А. Инвариантные меры и теоремы о замыкании типа Понселе Архивная копия от 14 августа 2016 на Wayback Machine
  2. Chapple, William [in английский] (1746), "An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles", Miscellanea Curiosa Mathematica, 4: 117—124. The formula for the distance is near the bottom of p.123.
  3. Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012), "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum, 12: 197—209, Архивировано из оригинала 28 октября 2019, Дата обращения: 19 ноября 2015.
  4. Roger Nelson. Euler's triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58—61.
  5. R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  6. Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
  7. Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Архивная копия от 17 февраля 2020 на Wayback Machine