Теорема Эйлера о треугольнике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Эйлера (планиметрия)»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Лемма о трезубце вики7.png

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера.

Формулировка[править | править код]

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

где  — радиус описанной,  — радиус вписанной окружности.

Замечания[править | править код]

  • Приведённую формулу можно переписать следующим образом
    .
или
  • Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера
    .
    • Существует более сильная форма этого неравенства[1]:с. 198, а именно:
где  — стороны треугольника.
  • Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Доказательство[править | править код]

Вики .png

Пусть  — центр описанной окружности треугольника , а  — центр вписанной окружности. Если луч пересекает описанную окружность в точке , то является средней точкой дуги . Проведём луч и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как . Тогда будет диаметром описанной окружности. Из точки опустим перпендикуляр на Тогда Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

Можно заметить, что слева стоит степень точки относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки). То есть, достаточно доказать равенство . По лемме о трезубце значит, достаточно доказать, что . Теперь заметим, что и то есть, требуемое равенство можно переписать в виде Перепишем его ещё немного: . Это равенство следует из подобия треугольников и . В самом деле, углы и у этих треугольников прямые, а углы и равны, потому что оба опираются на дугу (более того, отношение равно синусу угла ).

История[править | править код]

Эта теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году. Однако тот же результат был опубликован ранее Уильямом Чапплом в 1746 году.[2]

Вариации и обобщения[править | править код]

Для центра вневписанной окружности[править | править код]

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

где  — радиус одной из вневписанных окружностей, а  — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности[3][4][5].

Для многоугольников[править | править код]

Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.
  • Для радиусов и соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
    ,
или эквивалентно,

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, Forum Geometricorum Т. 12: 197–209, <http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html>  Архивная копия от 28 октября 2019 на Wayback Machine.
  2. Chapple, William (1746), An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles, Miscellanea Curiosa Mathematica Т. 4: 117–124, <https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/n142> . The formula for the distance is near the bottom of p.123.
  3. Roger Nelson. Euler's triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58—61.
  4. R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  5. Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
  6. Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Архивная копия от 17 февраля 2020 на Wayback Machine
  7. Авксентьев, Е. А. Инвариантные меры и теоремы о замыкании типа Понселе Архивная копия от 14 августа 2016 на Wayback Machine

Ссылки[править | править код]