Теорема вращения Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного угла и единичного вектора обозначим вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол . Тогда:

  •  — тождественное отображение для любого

Для любого вращения существует единственный угол , для которого , при этом:

  • определяется однозначно, если ;
  • любое, ;
  • определяется однозначно с точностью до знака, если (то есть, вращения одинаковы).

Геометрия группы вращений[править | править вики-текст]

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства SO(3). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе вращений пространства SO(3).

См. также[править | править вики-текст]