Теоремы Паппа — Гульдина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Те́оремы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привел) ;

первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640)[1].

Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)[править | править вики-текст]

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии[2][3].

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)[править | править вики-текст]

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры[2][4].

Доказательство[править | править вики-текст]

Лемма[править | править вики-текст]

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой .

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через , сами точки через , , …, , массу каждой точки через , а расстояния точек от прямой через , , …, .

Для , утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для точки. Тогда их центр тяжести находится на расстоянии

.

Заменим систему материальных точек , , …, точкой , сосредоточив в ней массу, равную . Остается найти центр тяжести двух материальных точек и . Так как точка имеет массу , а точка —- массу , то

.

Следовательно, если —- расстояние от точки до прямой (рис. 1), то

,

откуда

Таким образом, утверждение леммы справедливо для материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина[править | править вики-текст]

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является n-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину . Середины звеньев ломаной обозначим через , , …, , а расстояния от этих точек до прямой  — через , , …, . При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой получается поверхность (рис. 2), состоящая из n частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна , можно переписать выражение для площади так:

,

где

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек , , …, , в каждой из которых сосредоточена масса , согласно лемме, отстоит от прямой на расстоянии . Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию , при вращении которой при вращении вокруг оси получается поверхность . Впишем в неё ломаную , содержащую звеньев. При вращении вокруг оси получим поверхность , площадь которой равна , где  — длина ломаной , а  — расстояние от центра тяжести ломаной до оси вращения .

Если считать , то длина ломаной будет стремиться к длине линии , площадь поверхности будет стремиться к площади поверхности , центр тяжести ломаной будет стремиться к центру тяжести кривой . Так как для любого соотношение справедливо для , то переходя к пределу , найдем, что оно справедливо и для кривой .

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Глейзер Г. И.  История математики в школе. IX – X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
  • Фихтенгольц Г. М.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — 800 с.