Точка округления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Точка округления (круговая точка, омбилическая точка или омбилика) ― точка на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в которой нормальные кривизны по всем направлениям равны.

Название «омбилика» происходит от латинского «umbilicus» ― «пуп».

Точки округления и сеть линий кривизны поверхности вокруг них. В случае общего положения существуют три топологические различные типа особенности, часто называемые «лимон», «звезда» и «монстар»[1]

Свойства[править | править вики-текст]

В точке округления:

Примеры[править | править вики-текст]

Точки округления на трёхосном эллипсоиде

В евклидовом пространстве с метрикой :

  • Сфера целиком состоит из эллиптических точек округления.
  • Трёхосный эллипсоид (с попарно различными осями) имеет ровно четыре точки округления, все они эллиптические и относятся к типу «лимон».
  • Плоскость целиком состоит из плоских точек округления.
  • Обезьянье седло имеет изолированную плоскую точку округления в начале координат.

Гипотеза Каратеодори[править | править вики-текст]

Каратеодори высказал гипотезу, что на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности M в трёхмерном евклидовом пространстве существуют как минимум две точки округления. Эта гипотеза была впоследствии доказана при дополнительном предположении, что поверхность M аналитическая[2][3].

Обобщение[править | править вики-текст]

Пусть ― гладкое многообразие произвольной размерности в евклидовом пространстве большей размерности. Тогда в каждой точке определены собственных значений пары первой и второй квадратичных форм, заданных на касательном расслоении . Точка называется омбиликой, если в ней набор содержит хотя бы два совпадающих числа. Множество омбилик имеет коразмерность 2, т.е. задается на двумя независимыми уравнениями.[4] Так, омбилические точки на поверхности общего положения изолированы (), а на трёхмерном многообразии общего положения они образуют кривую ().

Литература[править | править вики-текст]

  • Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.
  • Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С.П. Теория поверхностей, — Любое издание.
  • Porteous I.R. Geometric Differentiation for the intelligence of curves and surfaces — Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
  • Struik D. J. Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Reprinted by Dover Publ., Inc., 1988.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, ― СМФН, 19 (2006), 131–170.
  2. Zbl 1056.53003
  3. Иванов В. В. Аналитическая гипотеза Каратеодори, ― Сиб. матем. журн., 43:2 (2002), 314–405.
  4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, ― Любое издание. (Добавление 10. Кратности собственных частот и эллипсоиды, зависящие от параметров).