Вторая квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхностиквадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Вторая квадратичная форма часто обозначается .

В частности, знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн и средней кривизны поверхности.

Определение[править | править вики-текст]

В трёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением поверхность задана уравнением где и ― внутренние координаты на поверхности; ― дифференциал радиус-вектора вдоль выбранного направления смещения из точки в бесконечно близкую точку ; — нормальный вектор к поверхности в точке . Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

где коэффициенты определяются формулами:

где обозначает смешанное произведение векторов и ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

График функции[править | править вики-текст]

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами , коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

Многомерный случай[править | править вики-текст]

Рассмотрим k-мерную поверхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением . Пусть — локальная карта поверхности в точке , то есть локально поверхность задается системой m уравнений и — нормальный вектор к поверхности в точке .

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

Свойства[править | править вики-текст]

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Вторая фундаментальная форма определятся также и для подмногообразий произвольной коразмерности.

где обозначает проекцию ковариантной производной на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.

Для подмногообразий Евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие вложено в риманово многообразие тогда тензор кривизны многообразия снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны объемлющего многообразия :

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-Х.
  • Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

Ссылки[править | править вики-текст]