Вторая квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вторая квадратичная форма -мерной поверхности, вложенной в пространство , — квадратичная форма, задающая нормальную кривизну. Пусть — нормальный вектор в точке , а — локальная карта поверхности в точке . Тогда вторая квадратичная форма вычисляется по формуле .

Свойства[править | править вики-текст]

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Вторая фундаментальная форма определятся также и для подмногообразий призвольной коразмерности.

где обозначает проекцию ковариантной производной на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.

Для подмногообразий Евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие вложено в риманово многообразие тогда тензор кривизны многообразия снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны объемлющего многообразия :

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.