Вторая квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вторая квадратичная форма n-мерной поверхности, вложенной в пространство \mathbb{R}^{n+1}, — квадратичная форма, задающая нормальную кривизну. Пусть \bold{n} — нормальный вектор в точке P, а \bold{r}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+1} — локальная карта поверхности в точке P. Тогда вторая квадратичная форма вычисляется по формуле q_{ij}=(\bold{n},\frac{\partial^2 \bold{r}}{\partial x^i \partial x^j}).

Свойства[править | править вики-текст]

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Вторая фундаментальная форма определятся также и для подмногообразий призвольной коразмерности.

\mathrm{I\!I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,

где (\nabla_v w)^\bot обозначает проекцию ковариантной производной \nabla_v w на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.

Для подмногообразий Евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан используя так называемую формулу Гаусса:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие N вложено в риманово многообразие (M,g) тогда тензор кривизны R_N многообразия N снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны R_M объемлющего многообразия M:

\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.

См. также[править | править вики-текст]