Параболоид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Параболоид вращения.
Гиперболический параболоид.
Поверхность из дерева, иллюстрирующая гиперболический параболоид

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

,

где и  — действительные числа не равные нулю одновременно. При этом

  • если и одного знака, то параболоид называется эллиптическим, частный случай эллиптического параболоида  в этом случае поверхность принято называть параболоидом вращения;
  • если и разного знака, то параболоид называется гиперболическим;
  • если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси ) плоскостями общего положения - параболы. Сечения горизонтальными (параллельными осям и ) плоскостями общего положения для эллиптического параболоида - эллипсы (когда пересечение есть; для параболоида вращения - окружности), для гиперболического параболоида - гиперболы. Иногда сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида или параболического цилиндра) или одна точка (для эллиптического параболоида).

Эллиптический параболоид[править | править вики-текст]

Эллиптический параболоид при a=b=1

Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, задаваемая функцией вида:

.

Эллиптический параболоид можно описать как семейство параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх (см. рисунок).

Если то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.

Гиперболический параболоид[править | править вики-текст]

Гиперболический параболоид при a=b=1

Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седловая поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

.

Также гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх (см. рисунок).

Гиперболический параболоид как линейчатая поверхность

Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.

Поверхность, порождаемая билинейной интерполяцией некоторой функции по 4 точкам является гиперболическим параболоидом.

Интересные факты[править | править вики-текст]

  • Поверхность жидкости в равномерно вращающемся сосуде является параболоидом вращения (что не является прямой причиной его названия).
  • Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку — фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы-рефлекторы с параболическим зеркалом, прожекторы, автомобильные фары и т. д. Подробнее, см. рефлектор (зеркало).
  • Зеркало устройства, описанного в романе А. Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина», на самом деле является параболоидом вращения.[источник не указан 16 дней]
  • Закуска Pringles имеет форму гиперболического параболоида.

См. также[править | править вики-текст]