Универсальная тригонометрическая подстановка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Подстановка[править | править вики-текст]

Рассмотрим задачу нахождения первообразной рациональной функции от синуса и косинуса.

Заменим sin x, cos x и дифференциал dx рациональными функциями от переменной t, и их произведением дифференциал dt, следующим образом:[1]

для значений x, лежащих в интервале

Введение обозначений[править | править вики-текст]

Примем, что переменная t равна тангенсу половинного угла:

В интервале −π < x < π, это даёт

и после дифференцирования получаем

Формула тангенса половинного угла даёт для синуса

и для косинуса формула даёт

Примеры[править | править вики-текст]

Первый пример[править | править вики-текст]

Найдём интеграл

Используя подстановку Вейерштрасса, получаем

Чтобы вычислить последний интеграл, используем разложение дробей:

Далее, согласно формуле тангенса половинного угла, можно заменить tg(x/2) на sin x/(1 + cos x), и тогда получаем

или так же мы можем заменить tg(x/2) на (1 − cos x)/sin x.

Второй пример: определённый интеграл[править | править вики-текст]

Разница между определённым и неопределённым интегрированием состоит в том, что при вычислении определённого интеграла нам не обязательно преобразовывать полученную функцию от переменной  t обратно к функции от переменной x, если корректно изменить пределы интегрирования.

Например,

Если x изменяется от 0 до π/6, sin x изменяется от 0 до 1/2. Это означает, что величина 2t/(1 + t2), равная sin  изменяется от 0 до 1/2. Тогда можно найти пределы интегрирования по переменной t:

перемножая обе части уравнения на 2 и на (1 + t2), получаем:

Решая квадратное уравнение, получаем два корня

Возникает вопрос: какой из этих двух корней подходит для нашего случая? Ответить на него можно, рассмотрев поведение

как функцию от x и как функцию от t. Когда x изменяется 0 до π, функция sin x изменяется от 0 до 1, и потом назад до  0. Эта функция проходит через значение 1/2 дважды — при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении от 1 до 0. Когда t изменяется от 0 до ∞, функция 2t/(1 + t2) изменяется от 0 до 1 (когда t = 1) и потом обратно до to 0. Она проходит значение 1/2 при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении: первый раз при t = 2 − √3 и потом опять при t = 2 + √3.

Произведя несложные алгебраические преобразования, получим

Выделяя полный квадрат, получаем

Введём новую переменную

Отсюда

при

и предел интегрирования будет

так как выше было определено, что

Тогда интегрирование даёт

На последнем шаге использовано известное тригонометрическое тождество

Третий пример[править | править вики-текст]

Подстановку Вейерштрасса можно использовать при нахождении интеграла от секанса:

Имеем

Как и в первом примере, используем разложение дроби:

Геометрия[править | править вики-текст]

Линейное преобразование дробей[править | править вики-текст]

Два компонента

являются соответственно действительной и мнимой частями числа

(считаем, что t действительное).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Brooks/Cole, 1991, page 439

Ссылки[править | править вики-текст]