Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

|

|
Гиперболические функции задаются следующими формулами:

(в англоязычной литературе обозначается
)

(в англоязычной литературе обозначается
)

(в англоязычной литературе обозначается
)
- гиперболический котангенс:

(в англоязычной литературе обозначается
)

Гиперболический секанс иногда также обозначается как
.
- гиперболический косеканс:

Определение гиперболических функций через
гиперболу
Параметризация гиперболического синуса (анимация).
Ввиду соотношения
гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы
(
,
). При этом аргумент
, где
— площадь криволинейного треугольника
, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси
, и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме:
, где
— ордината точки гиперболы, соответствующей площади
. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.
Связь с тригонометрическими функциями[править | править код]
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.
.
.
Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Доказательство
- Чётность/нечётность:






- Формулы сложения:




- Формулы двойного угла:






- Формулы кратных углов:






- Произведения:




- Суммы:




- Формулы понижения степени:


- Производные:
- Интегралы:
- См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций








- Представление через гиперболический тангенс половинного угла:






Для всех
выполняется:





(Ряд Лорана)

Здесь
— числа Бернулли,
— числа Эйлера.
sh(x),
ch(x),
th(x),
cth(x)
Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках
, где
— целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек
, вычеты его в этих полюсах также равны единице.
Обратные гиперболические функции[править | править код]
Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.
— обратный гиперболический синус, ареа-синус.
— обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
— обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
— обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
— обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение
также удовлетворяет уравнению
, однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
— обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.
arsh(x),
arch(x),
arth(x),
arcth(x)
Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:





где i — мнимая единица.
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:



В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например,
пишут как
(причём
обозначает другую функцию —
), и т. д.
Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения:
,
. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).
Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.
В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения
,
, в русскоязычной литературе закрепились обозначения
, в англоязычной закрепились
.
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.
Аналогично тому, как матрицы вида
описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы
описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.
Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции
(в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.
- Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.
- Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике). — 25 000 экз.
- А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с.
| |
---|
В библиографических каталогах | |
---|