Гиперболические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение[править | править вики-текст]

'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:

(в англоязычной литературе обозначается )

  • гиперболический косинус:

(в англоязычной литературе обозначается )

  • гиперболический тангенс:

(в англоязычной литературе обозначается )

  • гиперболический котангенс:

Иногда также определяются

  • гиперболические секанс и косеканс:

Геометрическое определение[править | править вики-текст]

Определение гиперболических функций через гиперболу
Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы (, ). При этом аргумент , где — площадь криволинейного треугольника , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: , где — ордината точки гиперболы, соответствующей площади . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства[править | править вики-текст]

Связь с тригонометрическими функциями[править | править вики-текст]

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношения[править | править вики-текст]

  1. Чётность:
  2. Формулы сложения:
  3. Формулы двойного угла:
  4. Формулы кратных углов:
  5. Произведения:
  6. Суммы:
  7. Формулы понижения степени:
  8. Производные:
  9. Интегралы:
См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций

Неравенства[править | править вики-текст]

Для всех выполняется:

Разложение в степенные ряды[править | править вики-текст]

(Ряд Лорана)

Здесь числа Бернулли.

Графики[править | править вики-текст]

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)
sh, ch и th
csch, sech и cth

Аналитические свойства[править | править вики-текст]

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции[править | править вики-текст]

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

— обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:
— обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.
— обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.
— обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.
— обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс.
— обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.

Графики[править | править вики-текст]

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, пишут как (причём обозначает другую функцию — ), и т. д.

История[править | править вики-текст]

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: , . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения , , в русскоязычной литературе закрепились обозначения , в англоязычной закрепились .

Применение[править | править вики-текст]

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Примечания[править | править вики-текст]


Литература[править | править вики-текст]

  • Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.

Ссылки[править | править вики-текст]