Стереографическая проекция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Карта поверхности Земли в стереографической проекции

Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

Определение[править | править вики-текст]

Стереографическая проекция

Плоскость касается сферы в некоторой точке (на приведённом рисунке это южный полюс сферы), центром проекции является точка , диаметрально противоположная (на рисунке точка — северный полюс сферы). Через каждую точку сферы проходит единственная прямая, соедининяющая и . Эта прямая пересекает плоскость в единственной точке , которая, таким образом, является образом точки при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой на плоскость.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом . Плоскость, дополненная элементом , называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза его образ .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции .
  • Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.
  • Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплексной проективной прямой на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем ) вещественную плоскость с координатами как одномерную (над полем ) прямую комплексного переменного .

Обобщение на высшие размерности[править | править вики-текст]

Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sn в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на Sn и Eгиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки PSn − {Q} является точка P пересечения линии с E.

Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа.

История[править | править вики-текст]

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

Сферическая панорама в стереографической проекции

В фотографии[править | править вики-текст]

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии[править | править вики-текст]

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые_встречи_с_геометрией_1978. — Москва «Наука», 1978. — P. 225. (стр. 186)

Ссылки[править | править вики-текст]