Уравнение Д’Аламбера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

y=x\varphi(y')+f(y'),

где \varphi и f — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при  \varphi(y') \equiv y' называется уравнением Клеро[1].

Решение[править | править вики-текст]

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

 y' = p.

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

 y = x\varphi(p)+f(p).

Дифференцирование по x даёт:

 p = \varphi(p)+\left(x \varphi'(p) + f'(p)\right) \frac{dp}{dx}

или

 p - \varphi(p) = \left(x \varphi'(p) + f'(p)\right) \frac{dp}{dx}.

Особые решения[править | править вики-текст]

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной  y' = p = p_0 , удовлетворяющей алгебраическому уравнению

 p_0 - \varphi(p_0) = 0,

так как для постоянного  p_0

 \frac{dp}{dx} \equiv 0.

Если  y' = p_0 , то  y = p_0 x + C_0, постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

 p_0 x + C_0 = x \varphi(p_0) + f(p_0),

так как в рассматриваемом случае  p_0 = \varphi(p_0), то

 C_0 = f(p_0).

Окончательно можем написать:

 y = x \varphi(p_0) + f(p_0) .

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение[править | править вики-текст]

Будем рассматривать обратную функцию к  p = y' , тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

 \frac{dx}{dp} - x \frac{\varphi(p)}{p-\varphi(p)} = \frac{f(p)}{p-\varphi(p)} .

Это уравнение является линейныv дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

 x = w(p, C).

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

 \begin{cases}
  y = x\varphi(p)+f(p)  \\
  x = w(p, C)
\end{cases} .

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

 \Phi(x, y, C) = 0 .


Примечания[править | править вики-текст]

  1. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов.. — 13-е изд.. — М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 46-48. — 560 с.