Уравнение Д’Аламбера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

где и  — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при называется уравнением Клеро[1].

Решение[править | править вики-текст]

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

Дифференцирование по x даёт:

или

Особые решения[править | править вики-текст]

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной , удовлетворяющей алгебраическому уравнению

так как для постоянного

Если , то , постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

так как в рассматриваемом случае , то

.

Окончательно можем написать:

.

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение[править | править вики-текст]

Будем рассматривать обратную функцию к , тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

.

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

.


Примечания[править | править вики-текст]

  1. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов.. — 13-е изд.. — М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 46-48. — 560 с.