Фононное рассеяние

Проходя через материал, фононы могут рассеиваться по нескольким механизмам: фонон-фононное рассеяние переброса, рассеяние на примесях или дефектах кристаллической решётки, фонон-электронное рассеяние и рассеяние на границе образца. Каждый механизм рассеяния можно охарактеризовать скоростью релаксации 1/ $\tau$, обратному соответствующему времени релаксации.

Все процессы рассеяния можно учесть с помощью правила Маттиссена. Тогда суммарное время релаксации $\tau _{C}$ можно записать как:

${\frac {1}{\tau _{C}}}={\frac {1}{\tau _{U}}}+{\frac {1}{\tau _{M}}}+{\frac {1}{\tau _{B}}}+{\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}$

Параметры $\tau _{U}$, $\tau _{M}$, $\tau _{B}$, $\tau _{\text{ph-e}}$ обусловлены рассеянием переброса, рассеянием на примесях, граничным рассеянием и фонон-электронным рассеянием соответственно.

Фонон-фононное рассеяние

Для фонон-фононного рассеяния эффекты нормальных процессов (процессов, сохраняющих волновой вектор фонона - N процессов) игнорируются в пользу процессов переброса (U процессов). Поскольку нормальные процессы изменяются линейно с изменением $\omega$, а процессы переброса зависят от $\omega ^{2}$, рассеяние переброса преобладает на высоких частотах . $\tau _{U}$ определяется как:

${\frac {1}{\tau _{U}}}=2\gamma ^{2}{\frac {k_{B}T}{\mu V_{0}}}{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{D}}}$

где $\gamma$ – параметр Грюнайзена, μ – модуль сдвига, V₀ – объем, приходящийся на один атом, и $\omega _{D}$—частота Дебая.

Трехфононный и четырехфононный процесс

Традиционно перенос тепла в неметаллических твердых телах описывался процессом трехфононного рассеяния, а роль процессов четырехфононного рассеяния и рассеяния более высокого порядка считалась незначительной. Недавние исследования показали, что четырехфононное рассеяние может быть важным почти для всех материалов при высокой температуре и для некоторых материалов при комнатной температуре. Предсказанная значимость четырехфононного рассеяния в арсениде бора была подтверждена экспериментами.

Разностное рассеяние на примесях

Разностное рассеяние на примесях определяется выражением:

${\frac {1}{\tau _{M}}}={\frac {V_{0}\Gamma \omega ^{4}}{4\pi v_{g}^{3}}}$

где $\Gamma$ является мерой силы рассеяния примесей ; ${v_{g}}$ зависит от дисперсионных кривых.

При самых низких температурах вклад от рассеяния на границах всегда будет основным и низкотемпературная асимптотика теплопроводности трёхмерного кристалла имеет вид $\displaystyle k\propto T^{3}$ . Рассеяние на дислокациях и точечных дефектах будет давать вклад в сторону понижения теплопроводности при повышении температуры, уменьшая длину свободного пробега.

Рассеяние на границе образца

Рассеяние на границе образца особенно важно для низкоразмерных наноструктур. В таких структурах скорость релаксации определяется выражением:

${\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {V}{L_{0}}}(1-p)$

где $L_{0}$ – характерная длина системы, а $p$ представляет долю зеркально рассеянных фононов.

Параметр $p$ для произвольной поверхности требует сложных расчетов. Для поверхности, характеризующейся среднеквадратичной шероховатостью $\eta$, зависящее от длины волны значение для $p$ можно рассчитать с помощью

$p(\lambda )=\exp {\Bigg (}-16{\frac {\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\eta ^{2}\cos ^{2}\theta {\Bigg )}$

где $\theta$ —угол падения.

При стандартном случае, то есть при $\theta =0$, совершенно зеркальное рассеяние (т.е. $p(\lambda )=1$ ) потребует сколь угодно большой длины волны или, наоборот, сколь угодно малой шероховатости. Чисто зеркальное рассеяние не вносит связанного с границей увеличения теплового сопротивления. Однако в диффузионном пределе при $p=0$ скорость релаксации становится

${\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {V}{L_{0}}}$

Это уравнение также известно как предел Казимира.

Вышеописанные уравнения могут во многих случаях точно моделировать теплопроводность изотропных наноструктур с характерными размерами порядка длины свободного пробега фононов. В целом требуются более подробные расчеты, чтобы полностью описать взаимодействие фононов с границей на всех соответствующих колебательных модах в произвольной структуре.

Фонон-электронное рассеяние

Рассеяние электрона на колебаниях кристаллической решетки описывается в терминах поглощения и испускания фононов движущимся электроном. Фононы представляют собой квазичастицы, описывающие возбуждения кристаллической решетки с некоторым законом дисперсии $\displaystyle \omega =\omega _{s}(q)$, где $q$ – квазиимпульс фонона, $\omega$ – его частота, а индекс $s$ нумерует различные ветви фононного спектра (акустические, оптические, продольные, поперечные). Процесс рассеяния соответствует передаче импульса и энергии от электрона колебаниям решетки и наоборот.

Фонон-электронное рассеяние также может вносить вклад, когда материал сильно легирован. Соответствующее время релаксации определяется как:

${\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}={\frac {n_{e}\epsilon ^{2}\omega }{\rho V^{2}k_{B}T}}{\sqrt {\frac {\pi m^{*}V^{2}}{2k_{B}T}}}\exp \left(-{\frac {m^{*}V^{2}}{2k_{B}T}}\right)$

Параметр $n_{e}$ — концентрация электронов проводимости, ε — потенциал деформации, ρ — массовая плотность, m* — эффективная масса электрона. Обычно считается, что вклад в теплопроводность фонон-электронного рассеяния пренебрежимо мал.

Смотрите также

• Процессы переброса
• Электрон-фононное взаимодействие