Фонон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Фонон
1D normal modes (280 kB).gif

Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле она обычно существенно меньше межатомного расстояния.
Состав: Квазичастица
Классификация: Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке, Акустические фононы, Оптические фононы, Тепловые фононы
Семья: Бозон[1]
Группа: Квант (колебательного движения атомов кристалла)
Теоретически обоснована: Игорь Тамм в 1932 году
Кол-во типов: 4
Спин: 0 ħ

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом[2]. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Необходимость использования квазичастиц[править | править код]

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов[1] и описывается статистикой Бозе — Эйнштейна. Спин фонона принимает значение 0 (в единицах ). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твёрдых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причём наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке[править | править код]

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы , равновесные положения которых определяются вектором решётки:

где . Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть  — одно из таких смещений атома, занимающего узел . В потенциальной энергии смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия:

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений с помощью функции:

.

Введём циклические условия:

.

Одномерной решётке соответствует зона Бриллюэна в -пространстве с границами:

.

Внутри этой зоны располагаются неэквивалентных волновых векторов:

где . От смещений отдельных атомов удобно перейти к новым обобщённым координатам , которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определённым значениям . Для этого введём преобразование:

Новые переменные должны удовлетворять условию:

.

Таким образом, потенциальная

и кинетическая энергия

,

где

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

Зная частоту фононов как функцию , можно вычислить фазовую и групповую скорости соответствующих элементарных возбуждений:

Акустические фононы[править | править код]

Длинноволновые возбуждения при характеризуются величинами:

,
.

Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:

,

где  — модуль Юнга, а  — одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы к вызванной ею относительной деформации . Он равен

.

Таким образом, акустическая скорость равна величине:

.

Следовательно, рассматриваемые в пределе возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.

Тепловые фононы[править | править код]

Тепловая энергия тела равна сумме энергий фононов (тепловых). Распределение фононов (тепловых) по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана[3].

Оптические фононы[править | править код]

Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна ( или ), то фазовая скорость будет равна величине:

,

а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твёрдом теле можно назвать оптическими фононами.

Акустические и оптические фононы[править | править код]

Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки

Акустические фононы[править | править код]

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решётки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трёхмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны:

,

где  — частота колебаний,  — волновой вектор, а коэффициенты  — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука.

Оптические фононы[править | править код]

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остаётся неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (длина волны оптических фононов примерно 500 нм) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Энциклопедия физики и техники: Фонон
  2. Фонон Физическая энциклопедия
  3. Энергия тепловых колебаний решётки (недоступная ссылка). Сайт кафедры физики твёрдого тела Петрозаводского государственного университета. Дата обращения: 6 октября 2016. Архивировано 6 октября 2016 года.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Соловьев В. Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
  • Давыдов А. С. Теория твёрдого тела. — М., 1976. — 636 с.
  • Feynman, Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures : [англ.]. — Reading, Massachusetts : The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — С. 366. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.
  • Каганов М. И. «Квазичастица». Что это такое?. — М.: Знание, 1971. — 75 с. — 12 500 экз.
  • Фейнман Р. Статистическая механика. — Мир, 1975. — 407 с.