Фонон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Фонон
1D normal modes (280 kB).gif

Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле, она обычно существенно меньше межатомного расстояния.
Состав: Квазичастица
Классификация: Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке, Акустические фононы, Оптические фононы
Семья: Бозон[1]
Группа: Квант (колебательного движения атомов кристалла)
Теоретически обоснована: Игорь Тамм в 1932 году
Кол-во типов: 3
Спин: 0 ħ

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Необходимость использования квазичастиц[править | править вики-текст]

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов[1] и описывается статистикой Бозе-Эйнштейна. Спин фонона равен нулю[2] (в единицах ). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке[править | править вики-текст]

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы , равновесные положения которых определяются вектором решетки:

где . Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть  — одно из таких смещений атома, занимающего узел . В потенциальной энергии смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений с помощью функции:

.

Введем циклические условия:

.

Одномерной решетке соответствует зона Бриллюэна в - пространстве с границами:

.

Внутри этой зоны располагаются неэквивалентных волновых векторов:

где . От смещений отдельных атомов удобно перейти к новым обобщенным координатам , которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определенным значениям . Для этого введем преобразование:

Новые переменные должны удовлетворять условию:

.

Таким образом, потенциальная

и кинетическая энергия

,

где

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

Зная частоту фононов как функцию , можно вычислить фазовую и групповую скорости соответствующих элементарных возбуждений:

Акустические фононы[править | править вики-текст]

Длинноволновые возбуждения при характеризуются величинами:

.

Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:

,

где  — модуль Юнга, а  — одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы к вызванной ею относительной деформации . Он равен

.

Таким образом, акустическая скорость равна величине:

.

Следовательно, рассматриваемые в пределе возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.

Оптические фононы[править | править вики-текст]

Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна ( или ), то фазовая скорость будет равна величине:

,

а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твердом теле можно назвать оптическими фононами.

Акустические и оптические фононы[править | править вики-текст]

Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки

Акустические фононы[править | править вики-текст]

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.

,

где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты Si — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .

Оптические фононы[править | править вики-текст]

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см−1) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.

Примечания[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Соловьев В.Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
  • Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.:Наука, 1976.-636с.
  • Feynman Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures. — Reading, Massachusetts: The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — P. 366. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.